巧构辅助圆：道是无“圆”却有“圆”

张海营

2021年是广东省中考改革的第二年，数学卷在考查学生灵活运用数学知识、解决实际问题等综合能力的同时，更加注重考查初高中数学知识和解题思维的衔接. 如2021年广东省中考数学第10题，若能深入思考这道“看似无圆却有圆”的综合题，挖掘出题中的隐含信息，巧妙地构造辅助圆，便能顺利地建立起条件与结论之间的联系，从而“圆”满地解决问题.

一、等长构圆：根据圆的定义构造辅助圆

模型1：根据圆的定义“到定点距离等于定长的点的集合是圆”，如图1所示，当出现有相同公共端点的三条相等线段OA = OB = OC时，可根据圆的定义来构造辅助圆，从而将一般几何图形的角度问题转化为圆形的角度问题，即根据圆周角定理来进行角度的转化.

1. 借助半径构圆

例1（2008年广东中考数学第21题节选）：如图2，已知AO=DO，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形△OAB和等边三角形△OCD，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），连接AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的度数.

解析：∵△OCD和△OAB都是等边三角形，

∴OD=OC， OB=OA， ∠COD=∠AOB=60°.

又∵OD=OA，

∴OD=OB=OA=OC.

以O为圆心，OA为半径作辅助圆，

∵ ∠COD=∠AOB=60°，

∴∠CBD=∠COD=×60°=30°，

∠BCA=∠BOA=×60°=30°，

∴ ∠AEB=∠CBD+∠BCA=60°.

点评：根据圆的定义，即到定点的距离等于定长的点的集合. 在本题中，旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状，无论△OCD旋转到什么位置，始终保持OA=OB=OC=OD不变，所以可以构造辅助圆来帮助解决问题.

2. 借助直径构圆

例2（2021年广东中考数学第24题节选）：如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段 BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF，求证：以AD为直径的圆与BC相切.

解析：取AD中点O，以O为圆心，OA为半径作辅助圆，

过点O作OM⊥BC，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，

∴∠DCB=90°.

又∵OM⊥BC，

∴OM∥AB，M为BC中点，

∴OM=（AB+CD），

∵AD=AF+DF，

又∵AF=AB，DF=DC，

∴ AD=AB+CD=2OM，且OM⊥BC，

∴以AD为直径的圆与BC相切.

点评：该圆属“隐圆”，图虽无圆，实则有圆，借助直径AD构造圆，进而判断该圆与BC的位置关系，达到“化隐为显、变暗为明”的目的，再通过“作垂直，证半径”的切线证明思路，结合AB+CD=2OM，即可证明结论.

二、等角构圆：根据圆的性质构造辅助圆

模型2：圆的性质主要集中在圆心（或圆周）角、弧、弦（或直径）等对象之间的相互关系上，当出现如图4在线段同侧的两个角相等，即∠C=∠D时，可借助定弦定角添加辅助圆，把问题转化为圆的问题，从而借助圆的性质来帮助解决问题.

例3（人教版数学八年级下册第69页第14题）： 如图5，E是正方形ABCD边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.

解析：在正方形ABCD中，连接DB、DF，

∵BF是∠CBA的外角平分线，

∴∠CBF=45°.

又∵∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°.

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四点共圆，其中边DF为圆的直径，

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等），

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴FE=DE.

点评：当角的度数确定，角所对的边是一条定边，根据“同弧所对的圆周角相等”，那么角的顶点的运动轨迹是圆. 此时角可以看成圆周角，定边是圆的一条弦，先利用同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，最终构造出辅助圆解决问题.

三、互补构圆：根据圆内接四边形构造辅助圆

模型3：根据圆内接四边形对角互补，当出现如图6所示，对角互补的凸四边形时，即∠B +∠D=180°，可根据圆内接四边形性质，构造辅助圆.

例4（2014年广东中考数学第24题改编）：如图7，☉O是△ABC的外接圆，AC是直径，点 P是☉O上的一点，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BF于点F，延长PO与AB相交于点D，若CE=CF，求证：PF是☉O的切线.

解析：连接PC，

∵PE⊥AC，PF⊥BF，

∴四边形PECF对角互补，

过点P、F、C、E作辅助圆.

∵AC为☉O直径，

∴∠B=90°.

又∵∠PFC=90°，

∴PF∥AB.

∵EC=CF，PC是直径，

∴PC⊥EF，∠ECP=∠FCP.

又∵OP，OC为☉O半径，

∴∠ECP=∠OPC=∠FCP，

即PD∥BF，

∴∠OPF=∠PFC=90°，且点P在☉O上，

∴PF是☉O的切线.

点评：借助对角互补的四边形构造辅助圆，从而确定圆的直径和同弧所对的圆周角，再结合垂径定理得出∠ECP=∠OPC=∠FCP，进而证明PF是☉O的切线.

四、倍角构圆：根据圆心角与圆周角关系构造辅助圆

模型4：当出现凹四边形的一个角是另一个角的2倍，且所对边相等时，如图8所示，∠AOB=2∠C，此时可根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，构造辅助圆.

例5（2021年成都市中考数学二模第24题）：如图9，已知点 A（4，0）、B （-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，求此时点C坐标.

解析：作AB的垂直平分线，并在垂直平分线上取点P，使得EP =AB.

连接PB，PA，以P为圆心，PA为半径作☉P与y轴正半轴交于点C，

过点P作PF⊥y轴于点F，

∵∠BCA=45°，

∴∠BPA=90°，BP=AP，

则PF=1，OF=PE=5，

∴PC=AP==5，

CF==7.

（1）当点C在y轴正半轴时，

5+7=12，此时C坐标为 （0，12）;

（2）当点C在y轴负半轴时，-5+ （-7） = -12，点C坐标为 （0，-12）;

因此，点C的坐标为（0，12）或 （0，-12）.

点评：当出现45°或60°这类特殊角时，可考虑把它看成圆周角，然后构造出此角2倍的圆心角，此时构造出圆心角与圆周角关系模型，结合圆的性质得出结论.

近年来广东省中考数学加强了对圆及相关知识点的考查，且现在更加注重对初高中数学思維和解题方式衔接的考查，因此题型也趋于更加创新和灵活，构建辅助圆模型是其中一种能快速且灵活解决问题的方法. 教师在教学过程中应注重培养学生的建模意识，提高几何直观能力，深入挖掘题目中的隐含条件，再利用圆的定义和性质解决问题，从而有效提升学生的数学素养.

注：本文系东莞市教育科研“十四五”规划2021年度课题“精准评价导向下初中生数学学业质量诊断的实践研究”（项目编号：2021GH318）的阶段性成果.