基于混合区间可能度的产品结构不确定性设计

成 靖, 萨日娜,,+, 张树有, 张利春

(1.内蒙古工业大学 机械工程学院，内蒙古 呼和浩特 010051；2.浙江大学 机械工程学院，浙江 杭州 310027；3.康力电梯股份有限公司，江苏 苏州 215213)

0 引言

产品设计与生产过程中普遍存在材料属性、边界条件、测量误差等不确定因素，虽然单一不确定因素对产品工作性能影响较小，但多个不确定因素的耦合可能对产品性能造成较大影响，因此不可忽略。国内外学者对产品不确定性设计进行了大量的研究，ALLEN等[1]从系统功能的角度将不确定性分为3类：①噪声或环境和其他因素的不确定性；②设计变量或控制因素的不确定性；③建模方法引入的不确定性。CHOI等[2]针对复杂的分层级系统提出归纳设计搜寻方法(Inductive Design Exploration Method, IDEM)，在模型结构不确定的情况下进行不确定性设计；MING等[3]针对复杂系统多参数不确定性信息获取总体效用的提高问题，提出一种基于性能的逐步信息获取方法；CHEN等[4]结合响应面方法与折衷决策支持问题(Decision Support Problem, DSP)，解决了同时含一二类不确定性的问题；CHENG等[5]提出一种结合径向基函数、区间分析和非支配排序遗传算法的区间多目标优化模型Pareto解求解算法，并以不确定材料性能的压力机滑块的力学性能优化为例，验证了方法的可行性和有效性。大部分学者主要将产品不确定性设计问题转换为确定性问题进行研究，常用的不确定建模方法有随机模型[6-7]、模糊模型[8-9]及区间可能度模型[10-12]。其中随机模型需要较多样本点以获取不确定性因素的概率分布，模糊模型需要依靠丰富的经验构造模糊隶属度函数，这些条件在实际工程问题中往往较难满足。区间可能度模型仅需获取不确定性因素变动的上下边界，无需确定不确定因素的概率特性或构造模糊隶属度函数，可行性好，因而得到了广泛的应用及研究。JIANG等[13]归纳两区间数所有可能的位置，并假设两区间数都为在各自区间服从均匀分布的随机变量，提出了改进的可能度(Modified Possibility Degree, MPD)模型；JIANG等[14]提出基于可靠性的区间可能度(Reliability-based Possibility Degree of Interval, RPDI)模型，可有效定量表示任意相对位置两区间的大小关系。这些区间可能度模型在一定程度上都可以有效应用于工程问题，但对于某些问题，其不确定性因素度量能力不够强，设计结果不合理。

近年来，群智能优化算法得到了长足的发展，陆续出现了众多的群智能优化算法并被广泛地用来解决工程实际优化设计问题。其中YANG等[15]提出的布谷鸟搜索算法由于其具备全局寻优能力强、人为设置参数少、易于与其他算法结合发挥各自优势等优点，受到了广泛关注，相继出现了很多关于布谷鸟算法的应用研究[16-20]。然而布谷鸟算法同时也存在着收敛速度慢、局部寻优能力不足、后期种族多样性较差等缺点，一定程度上限制了其工程应用效果。

针对上述产品结构不确定优化问题，本文定义了一种混合区间可能度模型，并给出了基于混合区间可能度模型的区间优化问题转换框架。提出基于自适应策略和天牛须算子的双层嵌套布谷鸟算法，利用测试函数对比，所提算法与基本布谷鸟算法(Cuckoo Search, CS)[15]、自适应布谷鸟算法(Adaptive Cuckoo Search algorithm, ACS)[21]、改进布谷鸟算法(Improved Cuckoo Search algorithm, ICS)[22]、动态布谷鸟算法(Dynamic Cuckoo Search algorithm, DCS)[23]4种算法的寻优性能。以3个工程实际问题为例，建立了3个结构不确定性设计数学模型。分别基于混合区间可能度模型、MPD与RPDI模型对案例一结构设计数学模型进行求解，验证本文可能度模型的可行性与优越性；分别基于混合区间可能度模型与确定性优化模型对3个结构设计数学模型进行求解，进一步验证了本文方法的普适性与可行性，并说明了设计过程中考虑不确定性的必要性。

1 基于混合区间可能度和转换框架的区间优化模型

1.1 问题陈述

区间优化模型的一般形式如下：

s.t.

(1)

1.2 混合区间可能度模型

可能度模型是区间优化的一个重要概念，用以定量比较区间之间的大小关系。很多学者提出了不同的可能度模型。 JIANG等[13]将两区间所有可能的位置归纳为如图1所示的6种情况，并假设两区间都为在各自区间服从均匀分布的随机变量，提出一种如式(2)～式(4)所示的MPD模型：

(2)

当一个区间退化为实数时，

(3)

(4)

MPD模型能很好地定量描述有重叠时两区间的大小关系，但在两区间没有重叠部分时，可能度为常数(0或1)，不能区分不同相对位置区间的大小程度，不利于可能存在这种情况的产品结构不确定性优化问题求解。

JIANG等[14]在MPD模型即式(2)～式(4)的基础上提出式(5)～式(7)所示的 RPDI模型)：

(5)

当一个区间退化为实数时，

(6)

(7)

式中Aω和Bω分别为区间A和区间B的区间半径。

无论两区间有无重叠，RPDI模型都能定量表示他们的大小关系，因此克服了原有模型的不足，且在一个区间退化为实数且有重叠时二者形式相同，很好地保留了MPD模型的区间比较能力。但在两区间都未退化为实数且有重叠时，MPD模型具有概率意义，比RPDI模型更合理。而实际应用时往往涉及两区间都未退化为实数且有重叠的情况，区间模型的合理性对设计结果具有重要影响。

针对以上两种可能度模型的不足，提出一种式(8)～式(10)所示的混合区间可能度模型：

(8)

当一个区间退化为实数时,

(9)

(10)

混合区间可能度模型将上述两种模型结合，在两区间有重叠时使用MPD模型，保留其更合理的区间比较能力；在两区间不重叠时使用RPDI模型，使得两区间不重叠时可以定量表示两区间的大小关系。

混合区间可能度模型具有如下性质，这些性质集合了两模型的优点，使他更适合求解区间优化问题：

(1)ph(AI≤BI)∈(-∞,+∞)。

(2)ph(AI≤BI)≤0表示区间AI绝对大于等于BI。

(3)ph(AI≤BI)≥1表示区间AI绝对小于等于BI。

(4)若ph(AI≤BI)=q，则ph(AI≥BI)=1-q，其中q∈(-∞,+∞)。

(5)若ph(AI≤BI)=ph(BI≤AI)，则AI=BI。

1.3 基于混合区间可能度的转换框架

基于混合区间可能度将式(1)转换为确定性优化模型，下面说明转换框架。

(1)目标函数

将求f的最小(大)值转换为求f不大于(不小于)某一性能区间的混合区间可能度的最大值[24]：

(11)

其中：AI为根据设计经验确定的性能区间(可以退化为实数)；fI(X)为在不确定向量U的影响下目标函数形成的区间，

fI(X)=[fL(X),fR(X)]。

采用两次优化[25]的方法，分别寻优得到fL(X)和fR(X)：

找到每个设计向量对应的区间，利用混合区间可能度模型将其与性能区间比较后，就能得到目标函数的混合区间可能度值。

(2)约束条件

将各约束是否满足各约束设置区间的大小关系的判断转换为各约束与约束设置区间比较的混合区间可能度值是否不小于对应的不确定性水平的判断[24]：

(12)

对于等式约束，则将一个等式约束转换为两个不等式约束，再按不等式约束的方法处理。

2 双层嵌套布谷鸟优化算法

针对上述基于混合区间可能度的区间优化模型，提出双层嵌套布谷鸟算法进行求解。

由于基本布谷鸟算法的步长相关参数α固定不变，会出现前期搜索范围不够大或后期搜索范围太大无法找到全局最优解的情况。另外，因为莱维飞行具有多次短距离与偶尔长距离相间的特点，易长距离跳跃，所以基本布谷鸟算法的局部搜索能力较差。本文采用自适应步长确保前期的全局搜索能力和后期的局部搜索能力，引入天牛须算子增强算法的局部搜索能力。

2.1 自适应策略

将固定步长相关参数α改为随迭代次数变化的步长参数L，

式中：b为控制步长的最小值；r为控制步长的变化范围；r1为服从[0,1]平均分布的随机数；n为总迭代次数；t为当前迭代次数；tanh()为双曲正切函数。以b=0.4，r=0.6，n=100为例，其步长参数变化过程如图2所示。

2.2 天牛须算子

在每代莱维飞行与随机迁徙后对每个个体加入天牛须算子[26]的位置更新方式，对种群进行第3次位置更新。

天牛须算子的位置更新公式为：

(14)

式中：

其中:rands(k,1)生成一个元素为[-1,1]间随机数的k维行向量，||rands(k,1)||求rands(k,1)的范数，b表示归一化后的rands(k,1)，代表天牛头的随机朝向。

δt为步长，取常数。

sign()为符号函数。自变量小于0时取0，其余情况取1。

2.3 双层嵌套计算流程

将上述改进后的布谷鸟算法作为外层求解器，将基本布谷鸟算法作为内层求解器，依照1.3节基于混合区间可能度的转换框架构建双层嵌套布谷鸟算法(Double Nested Cuckoo Algorithm, DNCA)。计算流程如图3所示。

算法步骤如下：

步骤1计算设计向量X的自适应步长，对其进行莱维飞行与随机迁徙及天牛须算子位置更新，获得初始种群。

步骤4判断是否有约束的混合区间可能度值小于对应的不确定性水平qi。 若有，则用罚函数法生成新的目标函数值；否则，约束的混合区间可能度值直接充当目标函数值。

步骤5判断该目标函数混合区间可能度值是否大于最大的目标函数混合区间可能度值，若是，则取代它成为新的最大值。

步骤6判断是否满足终止条件。若不满足，则转步骤1；若满足，则结束外层迭代，输出最大的目标函数混合区间可能度值及与之对应的目标函数区间、设计向量、各约束的混合区间可能度值和各约束区间，算法结束。

2.4 算法性能比较

对DNCA的寻优性能进行测试。在MATLAB R2018a上采用 CS算法[15]、ACS算法[21]、ICS算法[22]、DCS算法[23]和DNCA对在10维和20维时表2的6个标准测试函数进行仿真求解。为保证性比较的公正性，每种算法的个体数均设为50，迭代次数均为1 000次，均独立运行50次，参数依照各原始文献进行设置。各算法的参数设置如表1所示，各标准测试函数如表2所示，测试结果如表3、表4、图4、图5所示。其中，表3与表4分别为10维和20维时对于6个测试函数DNCA与其他算法的对比结果。表中的Mean与SD代表50次结果的均值与标准差，加粗的值为对应函数的最优结果。

表1 优化算法的参数设置

表2 标准测试函数表

表3 10维时DNCA与其他算法的对比结果

表4 20维时DNCA与其他算法的对比结果

由表3可看出，对于f1、f2、f5、f6，DNCA都得到了最小的均值和标准差，ACS获得了比DNCA更优的f4的结果，对于f3，CS、ICS和DNCA的均值并列最优，CS和DNCA的标准差并列最优；由表4可看出，对于所有测试函数，DNCA的均值和标准差均优于其他4种算法。

图4与图5能够反映各算法对不同测试函数的收敛特性。可以看出，多数情况下DNCA比其他4种算法速度更快，反映了DNCA的收敛效率更高。

3 方法应用

下面以3个工程实际设计问题为例，验证所提方法的普适性与可行性。

3.1 安全钳结构不确定性设计数学模型

电梯的安全保护系统是电梯八大系统之一，负责突发状况下乘客的生命安全。安全钳是安全保护系统的重要组成部分，其作用为轿厢超速时轿厢的紧急制停。因此，安全钳设计是决定电梯安全性能的重要因素之一。

以CHP2000型安全钳为例，其结构如图6所示。楔块6可绕与箱体8固连的销轴7转动,两个弹簧5对称布置，导轨1在非制动工况时不与挡块2与滚子4接触。电梯超速触发装置制动时，滚子轴3沿轨道运动，滚子4从中心位置沿楔块6侧面滚动到图示极限位置，被导轨1与楔块6卡死，导轨1被挤压，与挡块2和滚子4产生滑动摩擦。

对于该安全钳，WOLSZCZAK等[27]已经对其做过制动工况下的力学分析，本文在其基础上忽略部分塑性形变所做的力学分析如图7所示。

其中：Fs为弹簧提供的弹力，Fb为轿厢与安全钳箱体的惯性力，Fg为轿厢与安全钳箱体所受的重力，N4为导轨与挡块间的正压力，T4为导轨与挡块间的动摩擦力，Rx和Ry为销轴处的反力，N1、N2与T1、T2分别为滚子与楔块间的正压力与动摩擦力，N3与T3分别为导轨与滚子间的正压力与动摩擦力。几何参数a,b,c,d,e,l,m,n，α的含义如图7所示。

根据平衡关系得到以下等式：

-N4+Fs+Rx=0；

-Fsa-Ryl+N4m-T4n=0；

T2+N1cosα+T1sinα-Fs-Rx=0；

Fsa+T1b-N1c-N2d-T2e=0；

N3-T2-N1cosα-T1sinα=0；

T3-N2+T1cosα-N1sinα=0。

整理得：

(15)

(16)

N3=μ2N2+(μ1sinα+cosα)N1；

(17)

(18)

又有：

Fh=T1+T2+T3+T4=μ1N1+μ2N2+μ3N3+μ4N4。

(19)

分别将式(15)～式(18)代入式(19)即可得到制动力Fh的表达式。

由于制造装配等误差，挡块与导轨间的动摩擦系数、制动时弹簧提供的弹力以及楔块的偏转角往往在设计标称值附近变动，而弹簧和挡块的布置位置、楔块与滚子侧面的接触点位置可以在设计时做出改动。如何在上述不确定因素的影响下确定这些设计变量的值，以使制动力最大是一个关键的设计问题。于是建立安全钳结构不确定性设计数学模型：

maxF=Fh(a,b,c,m,Fs,α,μ4)。

s.t.

0≤b·cosα+c·sinα≤d；

(20)

模型中前7个约束为几何不干涉约束条件与各变量的范围约束条件，后3个约束为不确定性变量的不确定变化范围约束条件。

利用前述转换框架，即式(11)和式(12)求解安全钳结构不确定性优化设计问题。将原数学模型，即式(20)转换为如下确定性优化问题：

s.t.

(21)

3.2 十杆桁架结构不确定性设计数学模型

对文献[28]的十杆桁架模型进行修改，形成十杆桁架结构不确定性设计数学模型。其设计结构如图8所示，设计目标为在位移和应力约束下，找到一组使整体质量最小的各杆横截面积值。其中横纵杆长均为9.144 m，材料弹性模量为68 947 MPa，节点2受水平和垂向载荷P2x与P2y作用，节点4受垂向载荷P4y作用，节点2垂向允许位移为[10.16 cm,15.24 cm]，杆9的最大允许应力为[413.68 MPa,620.52 MPa]，其他杆的最大允许应力均为[137.92 MPa,206.88 MPa]。 考虑制造误差与工况不确定性，材料密度、P2x、P2y与P4y均设为不确定水平为10%的不确定性变量，其区间分别为[2.49×103kg/m3,3.05×103kg/m3]、[1 601.28 kN,1 957.12 kN]、[400.32 kN,489.28 kN]、[400.32 kN,489.28 kN]。

根据平衡关系得到以下等式，其中Ni(i=1,2,…,10)表示杆的轴向力。

(22)

利用上述各式构建模型响应，得到十杆桁架结构不确定性设计模型：

s.t.

ρ∈[2.49×103kg/m3,3.05×103kg/m3]。 (23)

式中A为各杆横截面积的集合，为设计向量。

利用前述转换框架，即式(11)和式(12)求解十杆桁架结构不确定性优化设计问题。将原数学模型，即式(23)转换为如下确定性优化问题：

s.t.

ρ∈[2.49×103kg/m3,3.05×103kg/m3]。(24)

3.3 悬臂梁结构不确定性设计数学模型

对文献[29]的悬臂梁模型进行修改，形成悬臂梁结构不确定性设计数学模型。其设计结构如图9所示，设计目标为在应力与几何约束下，找到一组使整体质量最小的各部分截面宽度值。其中每段长度均为100 cm，弹性模量为200 GPa，自由端受垂向载荷p=50 000 N，要求各截面高与宽之比小于20，最大垂向位移小于2.715 cm，最大许用应力为1400 N/cm2。 考虑制造误差，悬臂梁各段截面高度均设为不确定水平为20%的不确定性变量，其区间分别为[48.73 cm,73.09 cm]、[44.98 cm,67.46 cm]、[40.38 cm,60.56 cm]、[35.30 cm,52.96 cm]、[27.99 cm,41.99 cm]。

以整体质量为目标函数，应力与几何约束为约束条件，各段截面高度u为不确定性变量，各段截面宽度x为设计向量，构建悬臂梁结构不确定性设计模型：

minMass(x,u)=100×(x1·u1+x2·u2+x3·u3+x4·u4+x5·u5)。

s.t.

(25)

利用前述转换框架，即式(11)和式(12)求解悬臂梁结构不确定性优化设计问题。将原数学模型，即式(25)转换为如下确定性优化问题：

s.t.

(26)

3.4 计算结果

3.4.1 安全钳结构不确定设计问题

采用上述基于混合区间可能度模型的DNCA求解安全钳结构不确定设计问题。各参数设置如下：Fg=50 kN，Fb=30 kN，μ1=μ2=μ3=0.1，d=34.5 mm，e=60.7 mm，l=49 mm，n=17.5 mm。各约束的不确定性水平q1=q2=q3=q4=q5=q6=0.8，取性能区间AI=[3,4]。 计算结果如图10a和表5所示。

分别基于MPD模型和RPDI求解该问题，基于RPDI未求出满足约束的设计向量，基于MPD模型求解结果如表6所示。采用CS算法求解安全钳确定性结构设计问题的计算结果如图10b与表7所示。

其中表5表示当几何参数a,b,c,m分别为60.00 mm、15.51 mm、62.24 mm、60.70 mm时，在不确定性因素Fs,α,μ4的影响下安全钳制动力关于性能区间的混合区间可能度值最大，为1.775 3。此时制动力区间为[7.41,10.82] kN，各约束的混合可能度值及区间如表5所示。

表7表示当几何参数a,b,c,m分别为60.00 mm、30.84 mm、10.00 mm、30.00 mm时，安全钳制动力最大，为15.75 kN。 将该设计向量代入安全钳结构不确定性设计模型后，得到的安全钳制动力混合区间可能度值为1.507 4，制动力区间为[10.77，23.11] kN，满足6个约束条件中的5个。

表5 基于混合区间可能度模型的安全钳结构设计数学模型求解结果

表6 基于MPD模型的安全钳结构设计数学模型求解结果

表7 安全钳确定性结构设计数学模型求解结果

3.4.2 十杆桁架结构不确定设计问题

采用上述基于混合区间可能度模型的DNCA求解十杆桁架结构不确定设计问题。各约束的不确定性水平qi=0.8，i=1,2,…,11，取性能区间AI=[3 000,4 000]，计算结果如图11a与表8所示；采用CS算法求解十杆桁架确定性结构设计问题，计算结果如图11b与表9所示。

其中表8表示当设计参数Ai(i=1,2,…,10)分别为29 cm2、29 cm2、40 cm2、129 cm2、129 cm2、1 cm2、126 cm2、1 cm2、25 cm2、100 cm2时，在不确定性因素P4y,P2x,P2y,ρ的影响下十杆桁架质量关于性能区间的混合区间可能度值最大，为2.742 5。此时，质量区间为[777.76,952.68]kg，各约束的混合可能度值及区间如表8所示。

表8 基于混合区间可能度模型的十杆桁架结构设计数学模型求解结果

表9 十杆桁架确定性结构设计数学模型求解结果

表9表示当设计参数Ai(i=1,2,…,10)分别为13 cm2、10 cm2、14 cm2、127 cm2、129 cm2、5 cm2、129 cm2、129 cm2、89 cm2、18 cm2时，十杆桁架质量最小，为394.58 kg。 将该设计向量代入十杆桁架结构不确定性设计模型后，得到的十杆桁架质量混合区间可能度值为3.391 8，质量区间为[345.03，422.63] kg，满足11个约束条件中的9个。

3.4.3 悬壁梁结构不确定设计问题

采用上述基于混合区间可能度模型的DNCA求解悬臂梁结构不确定设计问题。各约束的不确定性水平qi=0.8，i=1,2,…,11，取性能区间AI=[80 000,90 000]，计算结果如图12a与表10所示；采用CS算法求解悬臂梁确定性结构设计问题，计算结果如图12b与表11所示。

其中表10表示当设计参数xi(i=1,2,3,4,5)分别为5.00 cm、4.96 cm、4.58 cm、3.46 cm、2.41 cm时，在不确定性因素μi(i=1,2,3,4,5)的影响下悬臂梁质量关于性能区间的混合区间可能度值最大，为0.041 3。此时质量区间为[84 110,126 150]kg，各约束的混合可能度值及区间如表10所示。

表10 基于混合可能度模型的悬臂梁结构设计数学模型求解结果

表11 悬臂梁确定性结构设计数学模型求解结果

表11表示当设计参数xi(i=1,2,3,4,5)分别为3.05 cm、2.82 cm、2.53 cm、2.21 cm、1.76 cm时，悬臂梁质量最小，为63 021 kg。 将该设计向量代入悬臂梁结构不确定性设计模型后，得到的悬臂梁质量混合区间可能度值为1.124 3，质量区间为[50 419,75 624] kg，满足11个约束条件中的0个。

4 讨论

4.1 3种可能度模型的比较

由表6可以看出，使用基于MPD模型的结构不确定设计方法多次计算的结果不一致。这是因为选择的性能区间和每次计算最终获得的目标函数区间没有重叠，不同目标函数区间和性能区间求得的可能度值都为1，所以不能确保求得的设计向量是真正最优的设计向量，性能不稳定。

使用基于RPDI模型的结构不确定设计方法没有得到满足约束的设计向量，这是因为两区间重叠时RPDI模型和MPD模型具有差异性。对于同一不确定水平性，满足后者约束条件的区间不一定也满足前者的约束条件，而基于概率方法的MPD模型比RPDI模型更合理，不应该排除满足前者约束条件区间而不满足后者约束条件区间的设计向量。

混合区间可能度模型既具备RPDI的定量描述任意相对位置两区间大小关系的优点，又继承了MPD模型的两区间重叠时区间大小比较的合理性，避免了上述两种情况的出现。因此，使用基于混合区间可能度的结构不确定设计方法能获得合理且有效的设计结果。

4.2 和文献[27]的比较

文献[27]也对案例一安全钳结构不确定性设计问题进行了研究，WOLSZCZAK等[27]基于最大熵原理及数值模拟获得不确定性变量样本点，通过蒙特卡罗方法获取制动力的概率分布，构建关于制动力统计信息的目标函数，获得了在制动时弹簧提供的弹力和楔块偏转角的不确定性的影响下，使制动力统计性质较好的一组几何参数。本文采用基于混合区间可能度的产品结构不确定性设计方法对相同对象进行了优化设计。

两种方法都仅需较少的不确定性变量的信息，但设计变量、不确定性变量、约束条件和目标函数的选取均不相同，且前者基于概率方法后者基于区间方法。另外，本文方法能从约束的可能度值反映出各约束的可靠程度，而文献[27]的方法无法从结果中体现系统的可靠程度，这在一定程度上限制了前者方法的适用范围。

4.3 和确定性优化结果的比较

通过3个案例两种方法的对比可以看出，确定性优化往往能得到更优的性能值，但这是以牺牲约束满足度即系统可靠度为代价的。若在设计过程中未充分考虑不确定性，可能会危害系统可靠性，降低系统的安全性能。因此，在设计过程中充分考虑不确定性是很有必要的。

5 结束语

针对由制造、安装误差等不确定性因素必然导致产品性能波动的特点，借助基于区间数模型的产品结构不确定优化思想，本文提出了基于混合区间可能度的产品结构不确定性设计方法。首先定义了一种混合区间可能度模型，给出了基于混合区间可能度的区间优化问题转换框架；提出了基于自适应策略和天牛须算子的双层嵌套布谷鸟算法，并用测试函数测试了其寻优性能；最后分别基于混合区间可能度模型、MPD模型与RPDI模型，对安全钳结构不确定设计问题进行应用验证，结果验证了所提方法的可行性与有效性；分别基于混合区间可能度模型、确定性优化模型对3个案例进行应用验证，进一步验证了所提方法的普适性与可行性。

结果表明，混合区间可能度模型可以比MPD模型和RPDI模型处理更多类型的问题，拓宽了区间优化方法的应用范围，这一优点在求解安全钳的结构设计问题中得到了验证。另一方面，采用自适应步长并加入天牛须算法的种群更新机制，双层嵌套布谷鸟算法在寻优能力上获得了较大的改善，获得了更精确的计算结果。

但本文仅研究了基于区间模型的产品结构单目标不确定性设计问题，下一步将开展产品多目标不确定性设计问题的研究工作。