基于Verhulst模型的围岩变形预测方法研究

程 丽，陈 刚

(1. 四川省水利水电勘测设计研究院有限公司，四川 成都 610072； 2. 四川省水利规划研究院，四川 成都 610072)

隧洞及地下洞室开挖后，洞室周围岩体应力将出现重分布，围岩也会产生不同程度的变形，并形成围岩松动圈[1]；一旦变形过大，就会造成围岩失稳破坏。开展安全监测，有助于保障围岩稳定[2]。利用围岩实测资料，采用一定的数学模型，对监测效应量的变化规律进行分析，对监测效应量未来的发展进行预测，从而实时监控围岩的安全状态，为确保围岩稳定提供技术支撑和科学依据。其中，围岩变形是对围岩工作状态最直接的反映。

采用监测统计模型对围岩变形进行预测是目前的主要方法[3]。该方法在分析围岩变形主要影响因素的基础上，利用围岩实测变形测值，采用统计回归分析方法，建立以影响因素为自变量、以变形为因变量的围岩变形统计模型，从而实现对围岩变形的预测。基于时间序列模型的围岩变形预测也是常用的方法之一[4]，该方法将围岩变形视为一个以时间为排序顺序的时序递推变化过程，采用时间序列分析模型描述测值自身的变化规律，从而实现对围岩变形的预测。近些年来，一些学者将神经网络、高斯回归、支持向量机、遗传算法、机器学习等现代数学方法和人工智能技术引入到围岩变形预测研究之中[5-7]，取得了一些有意义的成果。

无论是统计模型预测法，还是时间序列模型预测法，或上述的其他预测方法，大多需要利用较长的测值序列才能建立有效描述围岩变形长期变化规律的监测模型，从而对围岩变形进行预测。对短测值序列条件下的监测效应量，特别是施工期监测效应量，由于无法满足样本容量的要求，难以采用回归模型或时间序列分析模型等方法进行效应量预测。灰色系统理论适合于解决小样本条件下变量的建模和预测问题[8]，可为施工期围岩变形预测提供一条可行的途径。

在灰色预测模型中，GM(1,1)模型和Verhulst模型是两种较为常用的模型。GM(1,1)模型适合于测值序列具有不收敛趋势变化规律的发散型效应量，Verhulst模型则更适合于测值序列呈现收敛状态的收敛型效应量[8-9]。围岩变形的普遍性变化规律主要表现为隧洞开挖初期围岩变形增长较快，随着围岩应力重分布的逐渐完成，围岩变形将逐步趋于收敛，属于收敛性效应量。Verhulst模型能更好地描述围岩变形的这种变化规律，为此，本文基于Verhulst模型的基本微分方程，开展围岩变形预测方法研究。

1 建模原理

1.1 Verhulst预测模型的建立

(1)

根据灰色系统理论，Verhulst模型的通式可以表达为dx/dt=ax-bx2，其白化方程为

(2)

式(2)的初始条件应满足时间响应函数

(3)

将式(3)转化为时间响应序列，即得到Verhulst预测模型

(4)

式(4)中a、b为待求解的参数。

1.2 参数a、b的估计

(5)

令Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，即

(6)

(7)

则式(2)可近似地表示为

(8)

式(8)即为离散化的Verhulst预测模型。

对式(8)中的参数a、b进行求解时，可将观测时刻k=2, 3, …,n代入式(8)中，得到一组方程组

(9)

式(9)可采用向量矩阵表示，即

Y=Bu

(10)

式中

(11)

根据回归分析中的最小二乘法原理，通过自编程序，或利用MATLAB的工具箱，可求解得到待定参数a、b的估计值，即

(12)

2 工程实例

某地下洞室设计跨度20 m，洞高30 m，为给围岩支护提供科学依据，在洞室内每间距100 m布置1个监测断面，每个断面布置3条收敛监测测线，开展围岩收敛变形监测。本文针对该洞室A监测断面和B监测断面上布置的洞身水平收敛测线(测线编号分别为测线A-①、测线B-①)，利用该洞室开挖初期这2条测线2012-05-30日至06-03日取得的5次观测数据，建立基于Verhulst的预测模型；利用同年6月4日～6日的3次测值，进行后验式预测检验。

2.1 建模过程

以测线A-①为例，该测线2012-05-30日至06-03日取得的5次实测变形数据为

X(1)=(3.94, 4.90, 5.12, 5.26, 5.62)

按一次累减生成(1-IAGO)方法，可得到增量序列为

X(0)=(3.94, 0.96, 0.22, 0.14, 0.36)

按式(6)～式(7)可得到紧邻均值生成序列为

Z(1)=(4.42, 5.01, 5.19, 5.44)

按式(9)～式(12)可得到数据向量

Y=(0.96, 0.22, 0.14, 0.36)T

按式(12)得到参数列

代入公式(4)，即可得到测线A-①基于Verhulst的预测模型为

2.2 预测结果

2012-06-04日～6日测线A-①、测线B-①的实测值及预测值见表1，表1中，绝对误差=实测值-预测值，相对误差=绝对误差/实测值；实测值、拟合值及预测值过程线见图1。

表1 测线A-①、测线B-①收敛变形预测结果

图1 实际值、拟合值及预测值过程线图

从表1和图1中可以看出：测线A-①和测线B-①各后验测次预测值的绝对误差均不大，相对误差均较小，最大相对误差为10.3%，测线B-①的预测效果优于测线测线A-①。总体来看，基于Verhulst的预测模型在短序列测值条件下的围岩变形预测方面是可行的，预测效果良好。

3 结 语

围岩变形预测可为保障围岩稳定运行提供技术支撑和科学依据，目前预测围岩变形的方法需要具有较长的测值序列和完整的环境监测资料。但是，对于施工期的围岩变形监测，通常只有较短的测值序列，为此，本文基于灰色系统理论，构建了围岩变形的Verhulst预测模型，为短序列条件下的围岩变形预测提供了一条有效的途径。

Verhulst预测模型适合于变化趋势呈收敛状态的围岩变形，其预测精度总体良好。对于非收敛型围岩变形，特别是呈发散状态的围岩变形，宜采用GM(1,1)预测模型。Verhulst预测模型主要依赖于测值的自身变化规律，因此无需完整的环境监测资料，便于应用；但是，这也使得其预测过程没有顾及环境因素对围岩变形的影响，预测方法缺乏严格的物理力学意义。