基于高中数学核心素养的习题设计

张仕禄 李裕青

数学核心素养是在学生的解题过程中、在学生数学知识技能的发展中，逐步形成的重要的思维品质和关键能力。教师要关注习题设计，聚焦习题质量，深入研究“习题设计”与“数学核心素养”之间的联系，是十分必要的。

例1：在一个不透明袋子中装有8个大小一样的球，其中有3个白球，5个红球。现在从袋子中随机摸出1个球，则“摸出红球”和“摸出绿球”的概率分别是多少？它们相等吗？

解题分析：本题考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力。逻辑推理能力主要包括两类思维方向：①从特殊到一般，推理形式一般是归纳、类比;②从一般到特殊，推理形式一般是演绎。数学运算能力包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究思路、设计算法，取得结果等。本题设计考查可能性的定义与概率公式，考查随机事件的概率计算及概率定义。通过计算概率，考查学生分析问题、解决问题的能力。先分别计算摸出两种不同颜色的球的概率，然后根据概率来判断可能性的大小关系。

解题分析：不相等。理由：袋子中有白球3个，红球5个，球的总数为8个。因此，“摸出白球”的概率是3/8，“摸出红球”的概率是5/8。所以，摸出白球的可能性比摸出红球的可能性要小。

解后反思：本题考查随机事件、不可能事件发生可能性大小的比较，实质是其概率大小的比较。求随机事件概率大小要紧扣两点：①符合条件的情况总数;②全部情况的总数。

这两个“总数”的比值就是随机事件概率的大小，即概率P=n/m，其中m是总的结果数，n是该事件发生包含的结果数（即有利事件数）。

变式训练：考查事件的分类和定义。

变式1：在一个不透明袋子中装有8个大小一样的球，其中有3个绿球，5个红球。则下列事件中是必然事件的是（ ）

A.從袋子中随意摸出1个球是白球

B.从袋子中随机摸出2个球，其中有红球

C.从袋子中随机摸出3个球，其中有绿球

D.从袋子中随机摸出6个球，其中有绿球

解：袋子中没有白球，故从袋子中不能摸出白球，所以选项A是不可能事件。袋子中有5个红球，3个绿球，所以“从袋子中随机摸出2个球，其中有红球”与“从袋子随机中摸出3个球，其中有绿球”均为随机事件，而“从袋子随机中摸出6个球，其中有绿球”为必然事件，故选D。

练后反思：在某种条件下，必然发生的事件，称为必然事件;在某种条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件;在某种条件下，必定不发生的事件称为不可能事件。

此外，本题还可以进行如下的变式训练，以达到促进学生熟练知识，掌握方法，提高能力，增强学科素养的目的。

变式2：以重复试验的形式显现，考查频率的意义。

变式3：改编为涉及“两个因素”的放回抽样的随机事件的概率问题。

变式4：改编为涉及“两个因素”的不放回抽样的随机事件的概率问题。

变式5：改编为涉及“三个因素”的随机事件的概率问题。

例2：求

的值。

这是典型的给角求值题型，考查三角函数诱导公式的灵活运用。核心素养是通过利用诱导公式的化简求值，由任意角的三角函数，通过诱导公式转化为特殊角的三角函数，考查学生分析问题和解决问题的能力。（解题过程略）

此题还可进行如下变式训练：

变式1：已知tanx=2，求sinx，cosx的值。

变式2：（1）如果tanα=3，求

sin2α+cos2α的值。（2）如果tanα-sinα=n，tanα+sinα=m（α≠，k∈Z），求证：cosα=。

由上可见，将习题设计置于学生学习过程中，加强学科知识与核心素养的联系，研究“习题设计”与“学生解题”的关系，体现学生数学核心素养的发生、发展和逐步形成的完整过程，就是基于高中数学核心素养的习题设计的内在要求。

责任编辑 罗 峰