任意两实数的一个性质及巧用

孙红艺民盟华阴综合支部主委，政协委员，一级教师，现为城关中学副校长。10余篇论文在省、地刊物发表、获奖，40余次受到校级、市级表彰奖励，曾荣获华阴市委、市政府十佳教育工作者，渭南市优秀教师，优秀教研员。

性质：任意两实数a和b满足

（a+b）2≥4ab（仅当a=b时等号成立）. （*）

（*）式的意义是，任意两实数和的平方不小于其乘积的四倍.

证明 因为（a-b）2≥0，

所以a2+b2≥2ab，

左边配方得

（a+b）2≥4ab.

对于多元问题，若能从条件直接找出或经过转化后出现“两实数和及它们的积”，通过构造不等式，可以方便快捷地解答一些相关问题，起到出奇制胜的效果.

例1 已知x，y和z满足x+y=2，且xy=1+z2，求x，y的值.

解 因为x+y=2，

xy=1+z2，

所以由（*）知4≥4（1+z2），

所以z2≤0，

因为z2≥0，

所以z=0，

所以xy=1，

又x+y=2，

所以x=y=1.

例2 a，b，c为互不相等的的实数，且满足关系式：

b2+c2=2a2+16a+14，bc=a2-4a-5，①②

求a的取值范围.

解 由①得

（b+c）2=2bc+2a2+16a+14，③

把②代入③，得

（b+c）2=2（a2-4a-5）+2a2+16a+14

=4a2+8a+4，

由（*）知（b+c）2≥4bc，

即4a2+8a+4≥4a2-16a-20，

解得a≥-1.

例3 已知正整数a，b，c满足1

解 由已知条件知

a+c=111-b，ac= b2，

由（*）知（111-b）2>4b2，

所以（111-b）2-4b2>0，

所以（111-b+2b）（111-b-2b）>0，

即（111+b）（111-3b）>0，

因为111+b>0，

所以111-3b>0，

所以b<37，

所以a<36，

因为b2=ac，

所以ac是小于372的完全平方数，

于是易得a=27，c=48，

此时b=36.

例4 正数a，b，c，x，y，z滿足a+x=b+y=c+z=k，求证：ax+by+cz

解 由（*）知 （a+x）2≥4ax，

即ax≤14（a+x）2=14k2，

同理有by≤14k2，cz≤14k2，

所以ax+by+cz

=14k2+14k2+14k2=34k2

例5 求方程x+2yx+y=4的正整数解.

解 方程可化为

x+y+yx+y=4，

令m=x+y，n=yx+y，

则m+n=4，

mn=y，

由（*）知16≥4y，

即y≤4，

由题意知y=1，2，3，4，分别代入原方程，只有当y=3时，x=6符合要求，

故x=6，y=3.

练习

1.△ABC的三边a，b，c满足b+c=8，bc=a2-12a+52，试问△ABC是什么三角形（按边分类），并证明你的结论.

2.设实数a，b，c满足a2-bc-8a+7=b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范围.

答案

1.等腰三角形.

2.1≤a≤9.