求二次函数图象变换后的解析式

刘巍中学高级教师，理学学士，多年从事初三教学工作，曾获市优秀班主任，区级骨干教师、优秀教师称号，主要研究几何画板与数学课堂的有机整合。

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的平移、旋转和翻折，求这三种变换后的解析式是中考中常见的问题，问题解决并不难，只需要明白抛物线是由无数点构成的，变换实际是点的坐标变换，为方便大家理解并掌握此类题型的正确解法，现将有关解题方法总结如下.

1 抛物线的平移变换

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，所得抛物线解析式是

y=a（x-m）2+b（x-m）+c+n（a≠0），

下面进行简单证明.

图1

证明 如图1，设点A（x，y）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上任意动点，再设点A（x，y）平移后的对应点为A′（x′，y′），因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，

所以x+m=x′，y+n=y′，

即x=x′-m，y=y′-n，

将其代入抛物线解析式中，得

y′-n=a（x′-m）2+b（x′-m）+c（a≠0），

整理，得

y′=a（x′-m）2+b（x′-m）+c+n（a≠0），

所以y=a（x-m）2+b（x-m）+c+n（a≠0），

抛物线向其他方向平移可以同理证明，这里不再赘述.

规律：上加下减常数项，左加右减自变量.

例1 把抛物线y=2x2+3x-4先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线解析式是.

解 依据口诀，平移后的抛物线解析式为

y=2（x+2）2+3（x+2）-4-3，

整理，得y=2x2+11x+7.

2 翻折变换

抛物线的翻折变换常见的是沿坐标轴翻折.

（1）沿x轴翻折

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴翻折后解析式是y=-ax2-bx-c（a≠0），下面进行简单证明.

图2

证明 如图2，设点A（x，y）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上任意动点，再设点A（x，y）沿x轴翻折后的对应点为A′（x′，y′），所以x=x′，y=-y′，将其代入抛物线解析式中，得

-y′=ax′2+bx′+c（a≠0），

整理，得 y′=-ax′2-bx′-c（a≠0），

所以y=-ax2-bx-c（a≠0）.

规律：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴翻折后解析式，x不变，只需把y变成相反数即可.

（2）沿y轴翻折

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴翻折后解析式是y=ax2-bx+c（a≠0），

下面进行简单证明.

证明 如图3，设点A（x，y）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上任意动点，再设点A（x，y）沿y轴翻折后的对应点为A′（x′，y′），所以x=-x′，y=y′，将其代入抛物线解析式中，得

y′=a（-x′）2+b（-x）′+c（a≠0），

整理，得

y′=ax′2-bx′+c（a≠0），

所以y=ax2-bx+c（a≠0）.

规律：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴翻折后解析式，y不变，只需把x变成相反数即可.

例2 将抛物线y=2x2+4x-3按下列要求进行翻折变换，求翻折后所得抛物线的解析式：

（1）沿x轴翻折;（2）沿y轴翻折.

解 （1）沿x轴翻折后解析式为

-y=2x2+4x-3，

整理，得y=-2x2-4x+3;

（2）沿y轴翻折后解析式为

y=2（-x）2+4（-x）-3，

整理，得y=2x2-4x-3.

3 旋转变换

在初中阶段，抛物线的旋转一般是指旋转180°，旋转中心常见的是原点和抛物线的顶点，本文只研究绕原点旋转.

將抛物y=ax2+bx+c（a≠0）线绕原点旋转180°后解析式为y=-ax2+bx-c（a≠0）.

证明 设点A（x，y）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上任意动点，再设点A（x，y）绕原点旋转180°后的对应点为A′（x′，y′），所以x=-x′，y=-y′，将其代入抛物线解析式中，得

-y′=a（-x′）2+b（-x）′+c（a≠0），

整理，得

y′=-ax′2+bx′-c（a≠0），

所以y=-ax2+bx-c（a≠0）.

规律：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）绕原点旋转180°后解析式，把x，y都变成相反数即可.

例3 将抛物线y=-3x2+6x-5绕原点旋转180°，所得抛物线解析式是.

解 -y=-3（-x）2+6（-x）-5，

整理，得y=3x2+6x+5.

练习

将抛物线y=-2x2+3x-5按下列要求进行变换，求变换后所得抛物线的解析式：

（1）先向上平移5个单位，再向右平移2个单位;

（2）绕原点旋转180°;

（3）沿y轴翻折;

（4）沿x轴翻折.

答案

（1）y=-2x2+11x-14;

（2）y=2x2+3x+5;

（3）y=-2x2-3x-5;

（4）y=2x2-3x+5.