最值一定在顶点吗

邢艳丽

一、问题引入

例1 某型弹药装有50粒炸药，平均每粒炸药对弹头的飞行助推距离为30 m，根据科学测算，每增加1粒炸药将会导致每粒炸药的助推距离平均减少0.2 m，且由于弹壳容量的限制，增加量不能超过40粒. 求增加多少粒该炸药可使弹头获得最大飞行距离，最大飞行距离是多少？

解析：设增加炸药x粒，可使弹头飞行距离达到y m，

根据题意得y = （50 + x）（30 - 0.2x） = -0.2x2 + 20x + 1500 = -0.2（x - 50）2 + 2000，

∵-0.2 < 0，∴当x ≤ 50时，y随x的增大而增大，且当x = 50时，y有最大值. ∵x ≤ 40，∴当x = 40时，y有最大值为1980.

因此，增加40粒该炸药时可使弹头获得最大飞行距离，最大飞行距离是1980 m.

点评：弹壳容量限定了自变量的取值范围，导致函数的最大值可能不是出现在顶点处，而是出现在端点处.

二、典例辨析

例2 如图1，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的表达式为[y=-112x2+23x+53]. 他将铅球推出的距离是多远？

甲同学的解答如下：

∵[-112] < 0，∴y有最大值，当x = [-b2a] = 4时，y有最大值，即他将铅球推出的距离是4 m.

乙同学的解答如下：

当[y=] 0时，[-112x2+23x+53] = 0，解得[x1=10，x2=-2]，所以他将铅球推出的距离是10 - （- 2） = 12（m）.

你认为他们的解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确答案.

解析：他们的解法均不正确. 理由：铅球推出的距离既不是抛物线最高点对应的水平距离，也不是抛物线与x轴两个交点之间的距离，而是原点O到抛物线与x轴正半轴交点的距离. 所以他将铅球推出的距离是乙同学计算所得[x1=10]对应的10 m.

点评：铅球推出的距离是原点O到抛物线与x轴正半轴交点的距离.

例3 要在一个圆形喷水池中心安装一个大的喷水头，高度为[103] m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图2），在离中心水平距离4 m处达到6 m的最高处. 求这个喷水池的直径AB.

解析：∵沿抛物线轨迹运动的水柱在离中心水平距离4 m处达到6 m的最高处，

∴抛物线的顶点坐标为（4，6），

故设抛物线的解析式为[y=ax-42+6].

又∵喷水头设计的高度为[103] m，

把[0，103]代入抛物线解析式，解得a[=-16]，

∴[y=-16x-42+6].

当[y=0]时，解得x1 = 10或x2 = -2（不符合题意，舍去），即B（10，0），

所以这个喷水池的直径AB是20 m.

点评：抛物线与x轴交点到原点的距离就是圆形喷水池的半径.

三、总结提醒

二次函数應用题中的“极值”并不一定对应抛物线的顶点，而应该结合具体情况在顶点、端点、交点中进行选择. 通常，求二次函数中的最远运动距离问题的一般步骤为：

（1）恰当地建立或运用直角坐标系直观呈现抛物线；

（2）将已知条件转化为点的坐标；

（3）合理地设出所求的函数表达式；

（4）根据已有条件求出函数表达式；

（5）利用二次函数的知识及方法解决问题.

四、能力提升

某人从球门正前方10 m处将球从地上踢起射向球门，若此球从离地一瞬间起的飞行路线符合如图3所示的抛物线，且当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点3 m，则此球能否射入高2.44 m的球门？请说明理由.

答案：能射入球门. 根据题意可知该抛物线顶点为（6，3），且经过点（0，0），故设抛物线的解析式为[y=ax-62+3]，∴[0=a0-62] + 3，解得[a=-112]，∴抛物线的解析式为[y=-112x-62+3]. 当x = 10时，[y=53<2.44]，故能射入球门.

（作者单位：沈阳市辽中区养士堡九年一贯制学校）