建立坐标系 简繁差异大

方震军

例 （人教版初中数学九年级上册第51页探究3）图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？

分析：题目中提到抛物线，自然就是二次函数，要用二次函数解析式来解决问题，必须先建立平面直角坐标系.

如何建立直角坐标系呢？课本指出：“为解题方便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图2）”.

为什么课本说这种建立直角坐标系的方法可以使解题方便呢？我们不妨来看看其他情况.

方法1：以距离拱顶2 m时的水面为x轴，此时水面与拱桥的左交点为坐标原点，建立直角坐标系，如图3，则点A（0，0），B（4，0），顶点C（2，2）.设抛物线的解析式为y = a（x - 2）2 + 2，将点A（0，0）代入得a（0 - 2）2 + 2 = 0，解得a = -[12]，所以这条抛物线的解析式是y = -[12]（x - 2）2 + 2. 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为-1，即y = -1. 当y = -1时，由-[12]（x - 2）2 + 2  = -1，解得x1 = 2 + [6]，x2 = 2 - [6]，则x1 -  x2 = 2[6]. 即水面下降1 m，水面宽度增加2[6] m.

方法2：以距离拱顶2 m时的水面为x轴，此时水面与拱桥的右交点为坐标原点，建立直角坐标系，如图4，则点A（-4，0），B（0，0），顶点C（-2，2）.以下解法同方法1，请同学们自己完成.

方法3：以距离拱顶2 m时的水面为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图5，则点A（-2，0），B（2，0），顶点C（0，2）. 设抛物线的解析式为y = ax2 + 2，将点A（-2，0）代入得a（-2）2 + 2 = 0，解得a = -[12]. 所以這条抛物线的解析式是y = -[12]x2 + 2. 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为-1，即y = -1. 当y = -1时，由-[12]x2 + 2 = -1，解得x1 = [6]，x2 = -[6]，则x1 - x2 = 2[6]. 即水面下降1 m，水面宽度增加2[6] m.

方法4：以距离拱顶1 m时的水平线为x轴，在拱顶左侧且距离拱顶1 m与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，如图6，则点A（-1，-1），B（3，-1），顶点C（1，1）. 设抛物线的解析式为y = a（x - 1）2 + 1，将点A（-1，-1）代入得：a（- 1 - 1）2 + 1 = -1，解得a = -[12].

所以这条抛物线的解析式是y = -[12]（x - 1）2 + 1.

当水面下降1 m时，水面的纵坐标为-2，即y = -2.

当y = -2时，由-[12]（x - 1）2 + 1 = -2，

解得x1 = 1 + [6]，x2 = 1 - [6]，x1 -  x2 = 2[6].

即水面下降1 m，水面宽度增加2[6] m.

方法5：以距离拱顶1 m时的水平线为x轴，在拱顶右侧且距离拱顶1 m与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，如图7，则点A（-3，-1），B（1，-1），顶点C（-1，1）. 设抛物线的解析式为y = a（x + 1）2 + 1，将点A（-3，-1）代入得a（-3 + 1）2 + 1 = -1，解得a = -[12].

所以这条抛物线的解析式是y = -[12]（x + 1）2 + 1.

当水面下降1 m时，水面的纵坐标为-2，即y = -2.

当y = -2时，由-[12]（x + 1）2 + 1 = -2，

解得x1 = -1 + [6]，x2 = -1 - [6]，则x1 - x2 = 2[6].

即水面下降1 m，水面宽度增加2[6] m.

总结：可以发现，随着所建立的平面直角坐标系的不同，解题的简繁程度是不一样的.因此在建立直角坐标系解决问题时，不能只注意建立坐标系的正确性，而要同 时注意解题的简捷性，建得巧妙才能解得简捷.

（作者单位：江苏省南通中学附属实验学校）