所以a=1,2,3.
由②,得10
所以b=11,12,13,14,15.
由上可知,满足题意的a的整数值有3个, b的整数值有5个,所以满足这个不等式组的有序整数对(a,b)的个数是
3×5=15.
6.答案:7.
解:用字母标注长方体的各顶点,如图18.图18
因为长方体的长、宽、高分别为2,3,4, 根据勾股定理可求得
三条面对角线的长分别为
22+32=13,
32+42=5,
22+42=25,
体对角线的长为
22+32+42=29.
可分以下三种情况分析:
(1)由长方体的两条棱和一条面对角线可组成3种周长不同的三角形,如:
△ABE的周长 L=3+4+5=12,
△ADE的周长L=2+4+25=6+25,
△ABC的周长L=2+3+13=5+13.
(2)由长方体的一条棱、一条面对角线和一条体对角线也可组成3种周长不同的三角形,如:
△ACE的周长 L=4+13+29,
△AFD的周长L=2+5+29=7+29,
△ABG的周长L=3+25+29.
(3)由长方体的三条面对角线只能组成1种三角形,如:
△ACF的周长 L=5+25+13.
综上,一共可组成7种周长不同的三角形.
7.答案:32.
9
解:设⊙O1与⊙O2的半径分别为R1和R2,从A点分别作两圆的直径AE和AF,连接CE和DF,如图19.
因为AD和AC分别切⊙O1和⊙O2于点A,
所以AE⊥AD,AF⊥AC,
则∠EAD=∠FAC=90°,
由弦切角定理知
∠1=∠ACB,∠2=∠ADB,
所以△ABC∽△DBA.
因为AE,AF分别是⊙O1与⊙O2的直径,
所以∠ACE=∠ADF=90°,
又∠EAC=90°-∠CAD=∠FAD,
所以△ACE∽ △ADF,
于是AC∶AD=AE∶AF
=(2R1)∶(2R2)
=R1∶R2,
又S△ABC∶S△ABD=AC2∶AD2,
所以S△ABC∶S△ABD=R21 ∶R22 .
又因為S△ABC∶S△ABD=3∶4,
故R1∶R2=32.
0
8.答案:2.
解:从点A作AA1⊥x轴于点A1,从点B作BB1⊥x轴于点B1,如图20.
用S1,S2,S3,S4依次表示△OAA1,△OBB1,△OAB和梯形AA1B1B的面积.
由反比例函数的性质,可知
S1=12xA·yA=12,
S2=12xB·yB=2,
则S3=S4-S1-S2.
设OA1=a(a>0),OB1=b(b>0),则
AA1=1a,BB1=|-4b|=4b.
所以S3=12(1a+4b)(a+b)-12-2
=12(1+4+ba+4ab)-52
=12(ba+4ab)
=12·(b2+4a2-4ab)+4abab
=12·(b-2a)2ab+2.
因为a>0,b>0,
所以,当(b-2a)2=0,即b=2a时,△OAB的面积最小,最小值是2.
9.答案:500050.
解:观察题设数表中数的特点,可将题设数表中的数表示成以下两个数表中在同一位置的两数之和,即
123…99100
123…99100
123…99100
………………
123…99100
123…99100
000…00
100100100…100100
200200200…200200
………………
980098009800…98009800
990099009900…99009900
因为选出的100个数既不在同一行,也不在同一列,所以它们的和是
(1+2+…+100)+(0+100+…+9900)
=500050.
10.答案:(26,0).
1
解:因为点A(3,3)在函数y=kx(x>0)的图象上,所以点A的坐标满足函数式,
于是3=k3,
解得k=33.
分别从点A,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F,如图21.
易知OE=3,AE=3.
设BF=a, 则CF=3a,
所以点C的坐标为(23+a,3a).
由点C在函数y=33x(x>0)的图象上,知点C的坐标满足函数式,即
3a(23+a)=33,
解得a1=6-3,
a2=-3-6(舍去),
所以点D的横坐标为
23+2a=23+2(6-3)=26.
故点D的坐标为(26,0).
11.答案:300.
解:因为小于10的质数有2,3,5,7,并且6个质数的和是23,所以6个质数中至少有一个是2,则另外5个质数的数字和是21.
以下分两种情况:
(1)如果5个数字中含有7,因为不可能有3个7,所以可能的情形是:
7,7,3,2,2,2,这时一共有6!3!·2!=60(种);
7,5,5,2,2,2,这时一共有6!3!·2!=60(种);
7,5,3,3,3,2,这时一共有6!3!=120(种).
(2)如果5个数字中不含7, 则可能的情形只能是:
5,5,5,3,3,2,这时一共有6!3!·2!=60(种).
故这样的六位数一共有
60+60+60+120=300(个).
12.答案:8-333.
解:设正方形A和B的边长分别是a和b,扇形的半径是r.
2
如图22,在Rt△OMN中,
MN=a,∠MON=60°,
所以ON=MN÷tan 60°=33a.
由勾股定理,得
r2=a2+(a+33a)2=7+233a2.
3
如图23,在等边三角形△OPQ中,PQ=b,∠POQ=60°,所以
OK=OQ·sin 60°=32b.
由勾股定理,得
r2=(12b)2+(b+32b)2
=(2+3)b2.
故正方形B和A的面积比是
b2a2=7+2332+3=8-333.
13.答案:56.
解:设AM=m,MD=4-m.参照原题图6,在Rt△AME中,由勾股定理得
ME2=AE2+AM2,
又MD=ME,
所以(4-m)2=22+m2,
解得m=32.
由折叠条件知
∠MEP=∠D=90°,
于是∠AEM+∠BEP=90°.
又∠BEP+∠BPE=90°,
所以∠AEM=∠BPE.
又∠A=∠B=90°,
所以Rt△AEM∽Rt△BPE,
于是AEAM=BPBE,①
由①,得2m=BP2,
從而BP=4m=83.
在Rt△EBP中,
EP2=BE2+BP2=22+(83)2
=1009,
所以EP=103,
于是PF=EF-EP
=DC-EP
=4-103
=23.
因为∠BPE=∠FPN,
∠B=∠PFN=90°,
所以Rt△BPE∽Rt△FPN,
于是BPPE=FPPN,②
由②,得83103=23PN,
故PN=2×53×4=56.
4
14.答案:(312,0).
解法1:连接AC,作DE∥AC,DE交x轴于点E,如图24.
由DE∥AC,
得S△ADE=S△CDE.
设直线AC的方程为
y=kACx+b,
则kAC=8-03-2=8,
因为DE∥AC,
所以kDE=kAC=8,
于是直线DE的方程为
y=8x-62.
令y=0,得
E点的横坐标是314,
由题设条件知点E是OB的中点,所以
xB=2xE=2×314=312.
故点B的坐标是(312,0).
解法2:分别从点A和点D作OB的垂线,垂足分别为点A′和D′,如图25.可知
S四边形OADC=S△OAA′+S梯形ADD′A′-S△CDD′
=12×3×8+12×(2+8)×(8-3)
-12×(8-2)×2
=12+25-6
5
=31.
设点B的坐标为(b,0),由
S四边形OADC=12S△AOB
知S△AOB=2×31=62.
又因为S△AOB=12·b·8,
所以12·b·8=62.
解得b=312.
故点B的坐标是(312,0).
15.答案:92.
解:由a+b+c=0,a2+b2+c2=3,得
a+b=-c,(a+b)2=(-c)2=c2,
于是2ab=c2-(a2+b2)
=c2-(3-c2)
=2c2-3,
所以ab=c2-32.
a2b2=(c2-32)2=c4-3c2+94,①
同理,得b2c2=a4-3a2+94,②
c2a2=b4-3b2+94,③
又a4+b4+c4
=(a2+b2+b2)2-2(a2b2+b2c2+c2a2),④
将①、②、③及a2+b2+c2=3一起代入到④中,则得
a4+b4+c4
=32-2[a4+b4+c4-3(a2+b2+c2)+274]
=9-2(a4+b4+c4)+2×3×3-272
=272-2(a4+b4+c4),
解得a4+b4+c4=92.
16.答案:25.
解:由题意知,x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,根据韦达定理,有
x1+x2=-ba<0
x1x2=ca>0,
所以x1<0,x2<0.
因为抛物线与x轴有两个不同的交点,
所以Δ=b2-4ac>0.
又因为b是正整数,所以
b>2ac.①
因为|x1|与|x2|都大于1,
所以x1<-1,x2<-1.
于是ca=x1x2>1,
得c>a.②
因为a≥1>0,故抛物线开口向上,且当x=-1时,y=a-b+c>0,即
a+c>b.
又因为a,b,c是正整数,所以
a+c≥b+1,
由①,得a+c>2ac+1,
(a-c)2>1.
由②,得c-a>1.
即c>a+1.
所以c>(a+1)2≥4.
于是c≥5.
又b>2ac≥21×5>4,
所以b≥5.
当a=1,b=c=5时,abc取得最小值,故
abcmin=25.图26
17.答案:24-11324.
解:从点A作AE⊥DC于点E,如图26.
易知EC=AB=1,
于是DE=DC-EC
=3-1
=2.
已知∠D=60°,
∠E=90°,
所以∠DAE=30°,
AD=2DE=4.
在AD上截取AF=AB=1,则DF=3.
以A为圆心,1为半径画FB,又以D为圆心,3为半径画FC,则在已知的梯形内,扇形ABF和扇形DFC以外的部分的点可以满足PA>AB及PD>DC,所以待求的概率是
S阴影S梯形ABCD=S梯形ABCD-S扇形BAF-S扇形FDCS梯形ABCD
=1-1S梯形ABCD(13·π·12+16·π·32)
=1-116π·112(1+3)·23
=72-113π72
=24-11324.
18.答案:22.
解法1:延长DA,CE,交于点F,如图27.
7
因为DA∥CB,
可得AFCB=AEEB=17,
因为BC=7,
所以AF=AEEB·CB=1.
因为DA∥CB,
所以∠F=∠2,
因为CE平分∠DCB,
所以∠1=∠2,
于是∠F=∠1,
所以DC=DF=DA+AF.①
又作DG⊥CB于點G.因为DB平分∠ABC,由角平分线的性质,得
AD=DG.
又因为∠DAB=∠ABC=∠DGB=90°,
所以,四边形ABGD是正方形.
设AD=DG=x,则由①,得
DC=DA+AF=1+x,
CG=CB-GB=7-x.
在Rt△CDG中,
CD2=CG2+DG2,
即(1+x)2=(7-x)2+x2.
整理,得x2-16x+48=0
解得x=4或x=12(12>7,舍去)
所以梯形ABCD的面积为
12(7+x)·x=22.
8
解法2:从点D作DG⊥BC于点G.如图28.因为∠A=90°,BD平分∠ABC,由角平分线的性质,得
DA=DG,
又因为DA∥CB,
所以,四边形ABGD是正方形.
延长BA,CD交于点F.设AE=x,则
EB=7x,AB=AD=BG=DG=8x.
由AD∥BC,得
△FAD∽△DGC,
所以FADG=DACG,
于是FA=DACG·DG=DA·DGCB-GB
=8x·8x7-8x=64x27-8x.
因为CE平分∠BCD,由角平分线的性质定理,得
CFCB=EFBE,
则CF=EFBE·BC=7(x+64x27-8x)7x
=56x+77-8x.
在Rt△FBC中,由勾股定理,得
BC2+BF2=CF2,
即49+(64x27-8x+8x)2=(56x+77-8x)2,
整理,得4x2-8x+3=0,
解得x=12或x=32
(此时FA=64x27-8x<0,舍去).
所以梯形ABCD的面积为
12(7+8x)·8x=22.
19.答案:215+146.图29
解:在优弧上取点P,分别连接OA,OP,OM,ON,OB,并作弦PA=MN,再连接PN和PB,如图29.
因为S四边形AMNB=S△AOM+S△MON+S△NOB+S△BOA,
由弦AB和MN是定长,可知S△MON和S△BOA是定值,所以要使S四边形AMNB最大,只需使
S△AOM+S△NOB①
最大.
由PA=MN,可知
∠MON=∠POA,
∠MOA=∠NOP,
S△AOM=S△NOP,
于是,①可以写成
S△NOP+S△NOB,②
所以,要使①最大,就是使②最大.注意到S△POB是定值,并且
②+S△POB=S△PNB,
所以,使②最大,就是要使S△PNB最大,此时,点N应当是弦PB的中垂线与⊙O的交点,于是必有
∠BON=∠NOP=∠MOA,
由①的对称性可知,必有MN∥AB,
此时,S四边形AMNB最大,这个值是
S=12(MN+AB)hMN与AB之距
=12(4+10)(72-22+72-52)
=215+146.
20.答案:28.
解:設梯形上底长为a,下底长为b,两腰的长分别是c和d,过上底的右顶点作左腰的平行线,则长为c,d,(b-a)的三条线段能构成三角形,如图30.
0
不妨设a
(1)当a=6时,长为6的线段最长,它不能作为梯形的上底,所以没有满足条件的梯形.
(2)当a=5时,因为b>a,所以若b=6,则b-a=1,其他4条线段是1,2,3,4.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形,所以没有满足条件的梯形.
(3)当a=4时,因为b>a,所以
若b=5,则b-a=1,其他4条线段是1,2,3,6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.
若b=6,则b-a=2,其他4条线段是1,2,3,5,于是c和d可以选1和2,或2和3.
满足条件的梯形有2种.
(4)当a=3时,因为b>a,所以
若b=4,则b-a=1,其他4条线段是1,2,5,6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.
若b=5,则b-a=2,其他4条线段是1,2,4,6,于是c和d可以选1和2.
若b=6,则b-a=3,其他4条线段是1,2,4,5,于是c和d可以选2和4,或4和5.
满足条件的梯形有3种.
(5)当a=2时,因为b>a,所以
若b=3,则b-a=1,其他4条线段是1,4,5,6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.
若b=4,则b-a=2,其他4条线段是1,3,5,6,于是c和d可以选5和6.
若b=5,则b-a=3,其他4条线段是1,3,4,6,于是c和d可以选1和3,或3和4,或4和6.
若b=6,则b-a=4,其他4条线段是1,3,4,5,于是c和d可以选1和4,或3和4,或3和5,或4和5.
满足条件的梯形有8种.
(6)当a=1时,因为b>a,所以
若b=2,则b-a=1,其他4条线段是3,4,5,6.易知1和这4条线段中的任意2条都不能构成三角形.
若b=3,则b-a=2,其他4条线段是2,4,5,6,于是c和d可以选4和5,或5和6.
若b=4,则b-a=3,其他4条线段是2,3,5,6,于是c和d可以选2和3,或3和5,或5和6.
若b=5,则b-a=4,其他4条线段是2,3,4,6,于是c和d可以选2和3,或2和4,或3和4,或3和6,或4和6.
若b=6,则b-a=5,其他4条线段是2,3,4,5,于是c和d可以选2和4,或2和5,或3和4,或3和5,或4和5.
满足条件的梯形有15种.
综上,满足条件的梯形有
2+3+8+15=28(种).
接力赛
1A.答案:110.
解:设小虎的速度为v m/min,他从A地到B地用t min,则小明的速度为v(1+10%)m/min,他从A地到B地用(t-10)min.
根据两人所走过的路程相等,列方程得
v(1+10%)·(t-10)=vt,
整理,得v(1.1t-11)=vt,
由于v≠0,所以上式两边同除以v,得
1.1t-11=t,解得t=110,
因此,小虎从A地到B地用110 min.
1B.答案:109444.
解:将方程x2+3nx+2n2=n+1化为标准形式,得
x2+3nx+(2n2-n-1)=0,
由根与系数的关系,得
an+bn=-3n,
an·bn=2n2-n-1,
所以 (an-1)(bn-1)
=anbn-(an+bn)+1
=(2n2-n-1)-(-3n)+1
=2n2+2n
=2n(n+1),
于是1(an-1)(bn-1)
=12n(n+1)=12(1n-1n+1),
所以 1(a2-1)(b2-1)+1(a3-1)(b3-1)+…+1(aT-1)(bT-1)
=12[(12-13)+(13-14)+…+(1T-1T+1)]
=12(12-13+13-14+…+1T-1T+1)
=12(12-1T+1).
由前一位队友传来的答案T=110,得
1(a2-1)(b2-1)+1(a3-1)(b3-1)
+…+1(aT-1)(bT-1)
=12(12-1T+1)
=12(12-1111)
=109444.
2A.答案:41.
解:539×422=539×244
=(539×239)×25
=1039×32.
因为1039是39位数(1后面,有39个0),所以,乘积539×422的位数是39+2=41.
2B.答案:8.
解:参照原题图1,因为
S△ABC=12AC·BC·sin∠ACB
=12AB·CD,①
已知AC·BC=AB·CD,②
由①、②,得sin∠ACB=1,
所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,
BC2=AB2-AC2
=(AB+AC)(AB-AC),③
由題设知AB+AC=2BC,④
由③、④,得BC2=2BC·(AB-AC),
所以BC=2(AB-AC).⑤
联立④、⑤,解得
AB=54BC, AC=34BC,
所以AB∶BC∶AC=5∶4∶3.
设AB=5k,则
BC=4k,AC=3k,
由△ABC的三条边长都是小于T的整数,知3k,4k,5k都是正整数,又因为3,4,5互质,所以
k是正整数,
由△ABC的三条边长都是小于T的整数,得
1≤5k又由前一位队友传来的答案,知T=41,
所以15≤k<415,
故正整数k的取值是1,2,3,4,5,6,7,8,共8个,
于是△ABC的三条边长的取值有8种,
因此,满足题意的三角形共有8个.
3A.答案:13.
解:以原点为圆心,2为半径的圆的内部(含圆上的点)共有13个整点,如图31.
在图4中,以原点为圆心,2为半径的圆的内接正方形所覆盖的整点个数是13,
所以以原点为圆心,2为半径的圆的内接正方形所覆盖的整点个数的最大值是13.
1
3B.答案:8.5.
解:设S△DEC=x,则
S△BCE=S△BCD-S△DEC=17-x,①
S△AED=S△ACD-S△DEC=T-x,②
于是S△ABE=S△ABD-S△AED
=9-(T-x)
=9-T+x,③
由等高三角形的面积比等于底边的比,知
S△ABES△BCE=AEEC=S△AEDS△DEC,④
将①、②、③代入④,得
9-T+x17-x=T-xx,
化简,得26x=17T,
由前一位队友传来的答案,知T=13,
所以26x=17×13,
解得x=8.5,
即S△DEC=8.5.
个人赛
1.答案:7.
解:设m,n,p是三角形的三边长,且m≤n≤p,则
m+n+p=15.
m5341234
n5657654
p5667777
故以m,n,p为边长的三角形有7个.
2.答案:3328.
解法1:由2x+3y-2z=02x-3y+4z=0,可用x表示y和z,得
y=z=-2x,
于是 (3x-2y)2-(3y-5z)2(3x-2y)(3y-5z)
=3x-2y3y-5z-3y-5z3x-2y
=3x-2(-2x)3(-2x)-5(-2x)-3(-2x)-5(-2x)3x-2(-2x)
=7x4x-4x7x
=3328.
解法2:由 2x+3y-2z=02x-3y+4z=0,①②
①+②,得4x+2z=0,
即x=-12z,
①-②,得6y-6z=0,
即y=z,
于是3x-2y=-32z-2z=-72z,
3y-5z=3z-5z=-2z,
从而(3x-2y)2-(3y-5z)2(3x-2y)(3y-5z)
=(-72z)2-(-2z)2(-72z)(-2z)=3328.
3.答案:2.
2
解:如图32,作BP平分∠ABC,交AC于点P,则
∠1=∠2=12∠ABC=36°.
又由AB=AC,∠ABC=72°,
知∠A=180°-2∠ABC=36°,
所以△ABC∽△BPC,
则ACBC=BCPC,
即BC2=AC·PC,
所以BC2=AC(AC-AP).①
注意到由∠1=∠A,知
AP=PB=BC.
设BC为x,则由①得
x2=(5+1)(5+1)-x,
即x2-(5+1)x-(5+1)2=0,
解得x=2或x=-3-5(舍去).
4.答案:253.
解:参照原题图1,因为
∠B=90°,∠A=30°,AC=20,
所以BC=12AC=10,
AB=AC2-BC2=202-102=103.
设BE=FP=x.因为∠B=90°,PF⊥AB,所以
△AFP∽△ABC,
所以AFFP=ABBC=10310=3,
则AF=3x,
BF=103-3x,
于是 S矩形BEPF=BE·BF
=x·(103-3x)
=-3x2+103x
=-3(x-5)2+253
≤253,(当x=5时,取等号)
故矩形BEPF的面积最大为253.
5.答案:67.
3
解:如图33,分别延长BE和CD,交于点P.
设正方形ABCD的边长为3,则
AE=DF=2,DE=1.
由∠EDP=∠C=90°,知
Rt△PED∽Rt△PBC,
于是PDPC=EDBC,
即PDPD+DC=13,
亦即PDPD+3=13,
解得PD=1.5.
由AB∥PC,∠AGB=∠FGP,知
△ABG∽△FPG,
于是AGFG=ABFP
=ABPD+DF
=31.5+2
=67.
6.答案:(6,4)或(1,1).
解:经过配方,原方程即
(x-12)2-(y+52)2+12=0,
亦即(x+y+2)(x-y-3)=-12.
因为x,y都是正整数,
所以x+y+2≥4.
又因为-12=12×(-1)
=6×(-2)
=4×(-3),
于是可得下表:
x+y+21264
x-y-3-1-2-3
x62.51
y41.51
由上表知方程x2-y2-x-5y+6=0的正整数解是(6,4)或(1,1).
7.答案:835.
解:因为从8个木块中取出1个,有8种取法;从剩下的7个中取1个,有7种方法;从剩下的6个中取1个,有6种取法;从剩下的5个中取1个,有5种取法,所以从8个木块中取4个,取法共有
8×7×6×5=1680(种).
因为从8个木块中任意取出1个,有8种取法;从剩下的7个中取出1个不同于第一次的,有6种方法;从剩下的6个中取1个不同于前两次的,有4种取法;从剩下的5个中取1个不同于前三次的,有2种取法,所以从8个木块中取出4个,可组成的情形,共
8×6×4×2=384(种).
故从8个木块中取出4个木块,可组成的概率是
3841680=1670=835.
8.答案:±2.
解:方程x2-mx=1
即x2-mx=1,①
或x2-mx=-1.②
显然,不存在同时满足①和②的x,所以①和②没有相同的根.
对于①,有Δ1=m2+4>0,
所以①有2个不等的实数根.
又因为方程x2-mx=1有3个不同的实数根,所以②只能有2个相等的实数根,于是
Δ2=m2-4=0,
所以m=±2.
9.答案:1.
4
解:如图34,AE是最长的对角线,BD是最短的对角线.
作BM⊥AE于M,DN⊥AE于N.
因为正九边形的一个内角
∠BCD=180°-360°÷9
= 140°,
所以 ∠CBD=∠CDB=(180°-140°)÷2
=20°.
由轴对称性知BD∥AE,
则∠ABM=140°-90°-20°=30°,
在Rt△ABM中AM=12,
同理,在Rt△DNE中
NE=12DE=12,
故正九边形的对角线的差的最大值是
AE-BD=AM+NE=1.
10.答案:70.
解:设原来A組中有m(m>1)个数,平均数是a;则原来B组中有(100-m)个数,平均数是b.这100个数的和是
am+b(100-m)=1+2+3+…+100
=5050.①
将30从A组移入B组,则此时A组数的平均数是am-30m-1,B组数的平均数是
b(100-m)+30100-m+1.
因为两组数的平均数都比原来大05,
所以am-30m-1-a=0.5
b(100-m)+30100-m+1-b=0.5,
化简得a=0.5m+29.5b=0.5m-20.5,②③
将②和③代入①,解得
m=71,
所以,现在A组中的数有
71-1=70(个).
11.答案:1.
解法1:由|x|+y=2,得
y=2-|x|,①
将①代入到|x|y+x3=0,得
x3-x2+2|x|=0.②
(1)当x>0时,②式即
x3-x2+2x=0,
亦即x(x2-x+2)=0,
因為x>0,
所以x2-x+2=0,
因为Δ=(-1)2-4×2=-7<0,
所以此方程无实根.
(2)当x<0时,②式即
x3-x2-2x=0,
亦即x(x2-x-2)=0,
于是x2-x-2=0,
解得x=-1或x=2(舍),
于是y=2-|x|=2-1=1.
解法2:由|x|+y=2,得
y=2-|x|,①
由|x|y+x3=0,得
y=-x3|x|.②
5
分别作出这两个函数的图象,如图35,于是两个函数的图象的交点的纵坐标就是所求的y的值.
解得y=1.
12.答案:12.
解:设2x3=3y3=4z3=m,则
②式的等号左侧
32x2+3y2+4z2=3mx+my+mz,
②式的等号右侧
2+312+316=34(3mx3+3my3+3mz3),
所以3mx+my+mz
=34(3mx3+3my3+3mz3),
即3m·31x+1y+1z
=3m[34(1x+1y+1z)],
31x+1y+1z=34(1x+1y+1z).
于是1x+1y+1z=4(1x+1y+1z)3,
得(1x+1y+1z)[4(1x+1y+1z)2-1]=0,
因为xyz>0,
所以1x+1y+1z≠0
故得1x+1y+1z=12.
13.答案:60°.
解:因为ab=a+ba+b+c,
所以由合比定理得
ab=-a-b=a+b-aa+b+c-b=ba+c.(*)
延长CB至D,使BD=AB,连接AD,如图36,于是有
CD=CB+BD图36
=a+c.
所以(*)式即
BCAC=ACDC,
又因为在△ABC与△DAC中,∠C为公共角,所以
△ABC∽△DAC,
于是∠BAC=∠D.
因为∠BAD=∠D,
所以∠ABC=∠D+∠BAD
=2∠D
=2∠BAC.
由题设∠BAC=30°,得
∠ABC=2×∠BAC=60°.
14.答案:13.
解:设有x个-2,y个0,z个1,则由题设可得
x+y+z=30-2x+0·y+1·z=-18(a21+a22+…+a230)-2(a1+a2+…+a30)+30=126,①②③
其中②即2x-z=18,④
③即x·(-2)2+y·02+z·12-2·(-18)=96,
亦即4x+z=60,⑤
解x+y+z=302x-z=184x+z=60,①④⑤
得x=13y=9z=8.
所以在a1,a2,…,a30中,取值为-2的有13个.
15.答案:29.
解法1:不超过100的正整数的平方数有:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.所以“希望数”应当是从这10个数中取2个的和,且这个和不大于100,有以下情形:
从1,4,…,36,49中任取两个数,它们的和都小于100,有7×6÷2=21个满足条件的数.
64与1,4,…,36分别相加,得到6个满足条件的数.
81与1,4,9,16分别相加,得到4个满足条件的数.
其中,有65和85都被多算了一次:
65=12+82,且65=42+72,
85=22+92,且85=62+72,
所以满足条件的数共有:
21+6+4-2=29(个).
解法2:分别列出1,2,3,…,9的平方,再将不同的平方数分别相加:
序数
平方
平方
序数
123456789
149162536496481
11
245
391013
416172025
52526293441
6363740455261
749505358657485
8646568738089100
98182859097
如上表,知符合条件的数有
8+7+6+4+3+1=29(个).
16.答案:(-2,1)或(14,49).
解:由y=14x2
y=-12x+6,
解得x=4y=4 或x=-6y=9.
不妨令A点、B点的坐标分别是(4,4),(-6,9).设点P的坐标为(x,y).
由△ABP是直角三角形,知点A,B,P都可能是直角顶点.下面分类讨论:
(1)若∠BPA=90°,则
AP2+BP2=AB2,
即 (x-4)2+(y-4)2+(x+6)2+(y-9)2
=(4+6)2+(4-9)2,
将之与y=14x2联立方程组,解得
x=-2y=1.
(2)若∠ABP=90°,则
AB2+BP2=AP2,
即 (4+6)2+(4-9)2+(-6-x)2+(9-y)2
=(4-x)2+(4-y)2,
将之与y=14x2联立方程组,解得
x=14y=49.
(3)若∠PAB=90°,则
PA2+AB2=PB2,
即(x-4)2+(y-4)2+(4+6)2+(4-9)2
=(x+6)2+(y-9)2,
将之与y=14x2联立方程组,解得
x=4y=4(舍去).
故点P的坐标是(-2,1)或(14,49).