共点线的几种证法及其应用

宗吉

【摘要】共点线是指三条或三条以上的直线相交于一点，三線共点问题在几何中经常出现，而证明共点线问题是初等几何的难点之一.本文介绍了证明共点线问题的几种方法，并通过具体例题对这些证法作了肤浅的探讨.

【关键词】共点线;证法;直线

一、共点线的几种求法

交于同一点的三条或三条以上的直线叫做共点线.

1利用特殊点的唯一性

利用特殊点的唯一性来证明多线共点问题，其作法大体是：欲证n（n≥3）条直线相交于一点，不妨先在n条直线中任取一条直线，设法证明这条直线通过某一特殊点;然后再证明其余n-1条直线也通过那个特殊点，从而达到证明n条直线共点的目的.

1.1利用弧中点的唯一性

例1圆心为Oi（i=1，2，3，…，n）的n个圆同时跟一个半圆内切且跟半圆的直径相切，切点为Ci和Di.证明：直线CiDi相交于一个点.图1

证明如图1，半圆的圆心为O，直径为AB.为证明直线CiDi相交于一个点，先取直线C1D1使得直线C1D1和圆O相交于点M，可以明显得到点O，O1，C1共线.连接O1D1和OM，有

∠OMC1=∠OC1M=∠O1C1D1=∠O1D1C1，

所以OM∥O1D1.

又O1D1⊥AB，得OM⊥AB，

所以点M是⊙O1的中点.同理直线C2D2，C3D3，…，CnDn也通过点M.

由AB的中点的唯一性，直线CiDi相交于一个点.

1.2利用线段中点的唯一性

例2有两个完全相等且相交的圆A和B.⊙C和⊙D同时跟⊙A内切，跟⊙B外切，并且相互外切.l是⊙C和⊙D的内公共切线，可以根据条件画无数个⊙C和⊙D.证明：可以构造无数个内公共切线.

证明如图2，⊙C和⊙D的切点为N，设线段AB的中点为M，则MN⊥CD，直线MN是⊙C和⊙D的内公共切线l.

设⊙A和⊙B的半径为r，⊙C和⊙D的半径为c和d，连接AC，BC，MC和AD，BD，MD，由三角形的中线的性质，得

AC2+BC2=2CM2+2AM2，

AD2+BD2=2DM2+2AM2，

两式相减得2（CM2-DM2）

=（AC2+BC2）-（AD2+BD2）

=（r-c）2+（r+c）2-（r-d）2-（r+d）2

=2（c2-d2）=2（CN2-DN2），

同上CM2-DM2=CN2-DN2，

MN⊥CD，

所以，⊙C和⊙D的内公共切线l经过线段AB的中点M.

所以满足条件的⊙C和⊙D的内公共切线l无论如何都会经过线段AB的中点.

由线段中点的唯一性，无数个内公共切线l都会相交于一个点.

1.3利用外心的唯一性

例3在锐角△ABC中，把边BC上的高当做直径画出一个圆并且圆和三角形的边AB和AC相交于点M和N.通过点A画出直线lA并使得lA⊥MN.同上也可以画出直线lB和lC.证明：直线lA，lB，lC相交于一点.

证明如图3，连接HN，使得HN⊥AC，

通过点B作BG⊥AB交lA于点G，

则AG⊥MN，

因为∠AMN=∠AHN=∠C，

所以∠BAG=90°-∠AMN=90°-∠C=∠HAC.

因为∠ABG=∠AHC=90°，

所以△ABG∽△AHC，

于是∠AGB=∠ACB，

所以，点A，B，G，C四点共圆，点G在△ABC的外切圆上，

由∠ABG=90°，可知AG是△ABC的外切圆的直径或者直线lA经过△ABC的外心.

同上直线lB和lC也经过△ABC得外心，

所以直线lA，lB，lC相交于一点，并且那个点是△ABC的外心.

1.4利用内心的唯一性

例4

有△ABC和直线li（i=1，2，…，n）.直线li划分△ABC的周长和面积的比例是相等的.证明：直线li（i=1，2，…，n）共点.

证明如图4，直线l1和直线AB，AC相交于点E，F，则画出

AE+AFBE+BC+CF=S△ABCSEBCF

的平分线和直线l1相较于点I，设点I到直线AB，AC的距离是r，点I到直线BC的距离是x，

则r（AE+AF）r（BE+BC+CF）=AE+AFBE+BC+CF

=S△ABCSEBCF=12r（AE+AF）12r（BE+CF）+12x·BC，

同上x=r.

所以点I是△ABC的内心，

也可证明直线l2，l3，…，ln经过△ABC的内心，从△ABC内心的唯一性可得到直线li（i=1，2，…，n）共点.

1.5利用重心的唯一性

例5图5

圆O是△ABC的内切圆，与△ABC的边BC和CA，AB分别交于点D，E，F.射线DO和EF交于点A′.同上可以得到点B′和C′.证明：直线AA′，BB′，CC′共点.

证明如图5，连接A′B和A′C，

点B，D，O，F四点共圆，

点C，D，O，E四点共圆，

则∠A′OF=∠B，∠A′OE=∠C.

因为A′Fsin∠A′OF=OA′sin∠OFA′

=OA′sin∠OEA′=A′Esin∠OEA′，

所以A′FA′E=sin∠A′OFsin∠A′OE=sinBsinC=ACAB，

所以A′F·AB=A′E·AC

=12sin∠AEF·AC·A′E

=S△ACA′，

所以，直线AA′经过△ABC的重心.

同上，直线BB′和CC′也经过△ABC的重心，从△ABC重心的唯一性可得到直线AA′，BB′，CC′是共点.

2利用相关定理来证明共点线

2.1Ceva定理在△ABC的三条边或三条边上的直线BC，CA，AB取上点X，Y，Z，BXXC·CYYA·AZZB=1时，直线AX，BY，CZ平行或共点.如图6.

例6在锐角△ABC的三条边的外延画出△BCA1，△CAB1和△ABC1，使∠CAB1=∠C1AB=α，∠ABC1=∠A1BC=β，∠BCA1=∠B1CA=γ，

α，β，γ都是锐角.证明：直线AA1，BB1，CC1共点.

证明如图7，AA1，BB1，CC1和直线BC，CA，AB相交于点D，E，F，

有BDDC=S△ABA1S△ACA1=AB·BA1sin（∠ABC+β）AC·CA1sin（∠ACB+γ）

=ABsinγsin（B+β）ACsinβsin（C+γ），

同上CEEA=BCsinαsin（C+γ）ABsinγsin（A+α），

AFFB=CAsinβsin（A+α）BCsinαsin（B+β），

三式相乘得BDDC·CEEA·AFFB=1，

由Ceva定理，有直线AD，BE，CF共点并且直线AA1，BB1，CC1也共点.

2.2Desargues定理如果两个相互对应的三角形的对应边或对应边所在的直线共点，则对应顶点的连线共点或平行.如图8.

例7直线l与△ABC的边AB，BC，CA分别交于点L，M，N，直线AM，BN和CL相互相交构成了△RST.证明：直线AS，BT，CR共点.

证明如图9，在△ABC和△RST中，AB与ST交于点L，

BC与RT交于点M，

CA与RS交于点N，

点L，M，N共点.

由Desargues定理，△ABC和△RST顶点连线相交于同一点，则直线AS，BT，CR是共点.

二、共点线证法的应用

例8在线段PQ一侧有点Ai（i=1，2，…，n）并且满足∠PAiQ=90°.证明：∠PA1Q，∠PA2Q，…，∠PAnQ的角平分线相交于一点.

证明如图10，以线段PQ为直径和线段的中点为圆心画出一个半圆，点Ai（i=1，2，…，n）满足∠PAiQ=90°，所以点Ai（i=1，2，…，n）在圆周上.先在圆周上画出∠PA1Q并连接点A1和O.

0

因為PO=OQ，

所以∠PA1Q=∠OA1Q，

所以，直线OA1是∠PA1Q的平分线并且经过半圆的圆心O.

∠PA2Q，∠PA3Q，…，∠PAnQ的平分线也经过圆心O.

由线段PQ中点的唯一性，∠PA2Q，∠PA3Q，…，∠PAnQ的平分线相交于一个点.

1

例9证明三角形的三中线共点.

分析如图11，在△ABC中，AD，BE，CF是边BC，CA，AB的中线，要证明的是AD，BE，CF共点.

证明点D，E，F是BC，CA，AB的中点，

所以BDDC=CEEA=AFFB=1，

BDDC·CEEA·AFFB=1，

由Ceva定理，中线AD，BE，CF共点.

2

例10证明三角形内角的角平分线共点.

分析如图12，在△ABC中，AD，BE，CF是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，要证明的是AD，BE，CF共点.

证明在△ABC中，∠BAD=∠CAD，

由三角形的内角平分线定理得

BDDC=ABAC，CEEA=BCAB，AFFB=ACAB，

所以BDDC·CEEA·AFFB=ABAC·BCAB·ACBC=1，

由Desargues定理，三角形内角的角平分线AD，BE，CF共点.