一元二次方程实际应用中考热点问题

彭惠

【摘要】 列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一，列一元二次方程解应用题就是把实际问题抽象成数学问题，然后通过对数学问题的解决而获得对实际问题的解决.

【关键词】 平均变化率;面积;利润;比赛;传播

以实际问题为背景的题目，能够培养我们利用数学知识解決实际问题的能力，突出体现了数学在现实生活中的应用价值，这一点在2021年各地中考试卷中方面表现得更加抢眼. 今从2021年各地中考中选取有关一元二次方程实际应用的问题说明之.

1 平均变化率问题

例1 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（）

（A）5000（1+x）2=4050.

（B）4050（1+x）2=5000.

（C）5000（1-x）2=4050.

（D）4050（1-x）2=5000.

分析 等量关系为：2年前的生产成本×（1-下降率）2=现在的生产成本，把相关数值代入计算即可.

解 设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：

5000（1-x）2=4050，

故选（C）.

例2 “杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率;

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现.

分析 （1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论;

（2）利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论.

解 （1）设亩产量的平均增长率为x，

依题意得700（1+x）2=1008，

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）.

故亩产量的平均增长率为20%.

（2）1008×（1+20%）=1209.6（公斤）.

因为1209.6>1200，

所以他们的目标能实现.

2 几何图形面积问题

例3 图1

《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图1，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺=10寸）

答：圆材直径寸.

分析 过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD=1寸，AC=BC=12AB，连接OA，设圆的半径为x，在Rt△OAC中，利用勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求.

解 过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图.

因为OC⊥AB，

所以AC=BC=12AB，AD=BD.

则CD=1寸，AC=BC=12AB=5寸.

设圆的半径为x寸，则OC=（x-1）寸.

在Rt△OAC中，由勾股定理得

52+（x-1）2=x2，

解得x=13.

所以圆材直径为2×13=26（寸）.

3 市场销售利润问题

例4 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

分析 （1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+10（60-x）5=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论;

（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可.

解 （1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+10（60-x）5=（140-2x）件，依题意，得

（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，

整理，得x2-110x+3000=0，

解得x1=50，x2=60（舍去）.

故售价应定为50元;

（2）该商品需要打a折销售，

由题意，得62.5×a10≤50，

解得a≤8，

故该商品至少需打8折销售.

4 比赛类问题

例5 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）

（A） 5. （B） 6. （C） 7. （D） 8.

分析 设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

解 设八年级有x个班，依题意得

12x（x-1）=15，

整理得x2-x-30=0，

解得x1=6，x2=-5（不合题意，舍去）.

故选（B）.

5 传播问题

例6 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）

（A）14.（B）11.（C）10.（D）9.

分析 患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程1+x+x（1+x）=144，解方程即可求解.

解 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得

1+x+x（1+x）=144，

即（1+x）2=144，

解方程得x1=11，x2=-13（舍去），

故选（B）.

6 其他类问题

例7 图2

2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图2所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.

分析 设这个最小数为x，则最大数为（x+8），根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

解 设这个最小数为x，则最大数为（x+8），

依题意得x（x+8）=65，

整理得x2+8x-65=0，

解得x1=5，x2=-13（不合题意，舍去）.

故这个最小数为5.