一道期末考试题的解法探究

陈燕玲

【摘要】 这是一道典型的以直角三角形为模型的翻折问题，考查了翻折前后的数量不变性.文章通过多种解法的探究，发掘出折叠问题的本质，让学生体会三角形翻折问题的多个思考角度，通过做一题、得多法、会一类.

【关键词】翻折;勾股定理;相似

1 试题呈现

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B′处.

（1）求∠ECF的度数;

（2）若CE=4，B′F=1，求线段BC的长和△ABC的面积.

2 解法探究

第（1）问比较容易，答案为45°，本文只针对第（2）问给出以下5种解法.

解法1 由于翻折后边AC落在AB上的点D处，所以CE⊥AB，以AC为“桥梁”，在Rt△ACE和Rt△ABC中用勾股定理得

AC2=AE2+CE2=AB2-BC2，

由（1）知Rt△CEF为等腰直角三角形，

所以CE=EF=4，

BF=B′F=1，

所以BE=5，

所以BC=42+52=41，

设AE=x，则x2+42=（x+5）2-412，

解得x=165，

所以AB=415，

所以S△ABC=12AB·CE=825.

解法2 利用相似三角形，求相应的边长.

由解法1知 ∠ACB=∠CEB=90°，

∠B=∠B，

所以△ACB∽△CEB，

所以ACCB=CEEB，

即AC41=45，

所以AC=4415，

所以S△ABC=12AC·CB=825.

反思 該直角三角形为“双垂直模型”，同理可以利用△ACE∽△CBE求出AC的长度，再求面积;或者利用△ACE∽△ABC得

ACAB=CEBC=441，

得AC=441AB，

再利用勾股定理得 AC2+BC2=AB2，

即441AB2+412=AB2，

可求出AB，进而求出面积.或者直接用射影定理CE2=AE·BE即可求AE，或BC2=BE·AB即可求AB.

解法3 由翻折可得

∠CFB=∠CFB′=135°，

又因为∠CFE=45°，

所以∠DFB′=90°，

所以易得△CED∽△B′FD，

所以CEB′F=EDDF=41，

所以DF=45，

所以AB=415，

所以S△ABC=12AB·CE=825.

解法4 利用面积法求解

由解法3知

S△CDF∶S△B′DF=CEB′F=41，

S△BCE=12×5×4=10，

S△CEF=12×4×4=8，

所以S△BCF=10-8=2，

所以S△DFB′=15S△BCF=0.4，

所以DF=45，

所以AB=415，

所以S△ABC=12AB·CE=825.

解法5 如图2，过点F作FH⊥CB交BC于点H，

由解法4得

S△BCF=2，

又S△BCF=12BC·FH，

所以FH=441，

所以HB=1-1641=541，

由题易证△BHF∽△BCA，

所以HBBC=FHAC，

所以AC=4415，

所以S△ABC=12AC·CB=825.