掌握基本图形，提高解题速度

鲍永葆 王永庆

【摘要】 要在复杂的几何图形中快速找到解题思路，我们平时要掌握一些基本图形的性质，它能为我们解决问题提供简便的方法.

【关键词】 基本图形

为了提高几何的解题速度，我们平时解题时要掌握一些基本图形.例如两条线段相交构成的“”字型.

因为

∠A+∠B+∠AOB=180°，

∠C+∠D+∠COD=180°，

又因为∠AOB=∠COD，

所以∠A+∠B=∠C+∠D.

若∠A=∠C，那么∠B=∠D.

利用这两个结论，可以为我们的解题提供很大的方便.

例1 如图2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

解 连接CD，可构成基本图形.

由∠B+∠E

=∠OCD+∠ODC，

所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D

=∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°.

例2 如图3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

解 连接EF，可构成基本图形.

由∠A+∠D=∠OEF+∠OFE，

所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=∠B+∠C+∠A+∠D+∠E+∠F

=∠B+∠C+∠OEF+∠OFE+∠CEA+∠BFD

=∠B+∠C+∠OEF+∠CEA+∠OFE+∠BFD

=∠B+∠C+∠CEF+∠BFE

=360°.

例3 已知△ABC，BE是∠ABC的角平分线，CE是外角∠ACD的角平分线.求证：∠E=12∠A.

证明 由AC与BE相交构成基本图形可知，

∠A+∠ABE=∠ACE+∠E，

又因为BE，CE分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，所以∠ABE=12∠ABC，

∠ACE=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）

=12∠A+12∠ABC.

所以∠A+12∠ABC=12∠A+12∠ABC+∠E，

即∠E=12∠A.

例4 在同一平面內，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次相接，AD，BC相交于点O，AP，CP分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，AP，CP分别与BC，AD相交于点M和N，∠B=α，∠D=β.

（1）若α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由.

（2）当α≠β时，请写出∠APC与α，β的数量关系.

解 （1）AD与BC相交构成基本图形.

所以∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，

因为∠B=∠D，

所以∠BAO=∠DCO，

又因为PA，PC分别是∠BAO和∠DCO的角平分线，

所以∠1=∠2=12∠BAO，

∠3=∠4=12∠DCO，

所以∠1=∠2=∠3=∠4.

又因为AP与BC相交构成基本图形.

所以∠B+∠1=∠APC+∠3，

所以∠B=∠APC，

即∠APC=α.

（2）由∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，

即∠B+2∠1=∠D+2∠3，①

由∠B+∠1=∠APC+∠3，两边同时乘以2得

2∠B+2∠1=2∠APC+2∠3，②

②-①得∠B=2∠APC-∠D，

即∠APC=12（∠B+∠D），

∠APC=12（α+β）.

例5 已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB.求证：BD⊥EC;

证明 因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，

所以∠EAF=∠DAB=90°，

又因为AE=AD，

AF=AB，

所以△AEF≌△ADB（SAS），

所以∠AEF=∠ADB，

又因为AD与EG相交构成基本图形.

所以∠AEF+∠EAF=∠FDG+∠DGF，

即∠EAF=∠DGF=90°，

故BD⊥EC.