初中二次函数题目解题策略分析

和芸

【摘要】熟练掌握二次函数的相关知识对于学生取得好的数学成绩而言至关重要，通过对学生的学习情况进行分析发现，无论是在面对单一的函数题，还是在面对复杂的综合题时，学生都存在一定的问题，没有完整的解题策略，因此，深入探究二次函数的解题策略，对于学生学习成绩的提升具有十分重要的意义.

【关键词】二次函数学;解题策略;数学能力

1 数形结合法

数形结合即是将题目中所给出的内容转化为简单的图形，将数字与图形进行有机地结合，从而减轻解题的难度.同时，数形结合法也是在面对复杂题目时最为常用的方法，因此学生应当积极练习.

例1如图1所示，抛物线F：y=ax2+bx+c（c>0），与y轴于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t得到直线L2，设L1与抛物线F的交点为C，D，L2与抛物线F的交点为A，B，连接AC，BC.

（1）当a=12，b=-32，c=1，t=2时，△ABC的形狀.

（2）若△ABC为直角三角形，求t的值.

解析 通过阅读题目可以发现，对于第一问，需要学生找到题目中所蕴含的抛物线信息，代入公式，求出A、B点的坐标，进而根据△ABC边长间的关系确定其形状.第二问则是根据二次函数的基本性质，加之直角三角形的特点，求出未知变量.

解1 当a=12，b=-32，c=1，t=2时，抛物线表达式则为y=12x2-32x+1，将x=0代入，可以得C点坐标为（0，1），t=2时，y=3，此时由12x2-32x+1=3可得x1=-1，x2=4，则A点坐标为（-1，3），B点坐标为（4，3），根据勾股定理代入数据可以得到CA=5，CB=25，AB=5.此时存在CA2+CB2=AB2，所以当a=12，b=-32，c=1，t=2时，△ABC为直角三角形.

解2 如图2，设AB交y轴于E，交抛物线对称轴于F，则F为AB中点，连接CF，由方程c+t=ax2+bx+c，可以得到ax2+bx-t=0.设其根为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1x2=-ta，AB=x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=b2+4ata.所以CF=12AB=b2+4at2a，在Rt△CEF中，CE=t，EF=-b2a，所以t2+-b2a2=（b2+4at2a）2，解得t=1a.

2 代数推理法

代数推理法是指以二次函数解析式y=ax2+bx+c为基础，根据题目中给出的信息进行解答，确定解析式中的未知量，最终求出具体的解析式的方法.在实际的解题中，学生要根据题目中给出的信息确定出函数解析式中a，b，c的变量值，在此基础上求出解题所需的顶点式、零点式等多种表达形式，从而解答问题.

例2 如图3所示，抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标为Q（2，-1），交y轴于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（A在右侧），点P为其上动点，从点C沿抛物线向点A运动且不重合，过P作PD∥y轴，交AC于点D.求函数的解析式;

解 根据题意，抛物线顶点为Q（2，-1），所以设抛物线为y=a（x-2）2-1（a≠0）.点C（0，3）在抛物线上，则有3=a（0-2）2-1，解得a=1，所以解析式为y=x2-4x+3.

3 转换法

在运用转换法时，需要学生能够灵活理解题目中给出材料，并将题目中给出的重点的材料转换为二次函数所需的内容，而后通过解答函数的相关知识解决实际的问题.

例3 如图4所示的隧道长12m，宽4m，按图中所示的坐标系，抛物线可用y=-16x2+bx+c表示，且点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m.

（1）求拱顶D到地面OA的距离;

（2）高6m，宽4m的集装箱车能否安全通过.

解1 由题意可知点B（0，4）、C（3，172）在抛物线上，将其代入可得c=4，172=-16×9+3b+c，

解得c=4，b=2，则抛物线方程为y=-16x2+2x+4，顶点式则为y=-16（x-6）2+10.

根据顶点式可以得到其顶点D坐标为B（6，10），因此拱顶D到地面OA的距离为10m.

解2 通过分析题意可以得知，该车底部外侧与地面的交点为（2，0）或者（10，0），将x=2或x=10代入y=-16x2+2x+4可得y=223>6，因此，该车可以通过.

数形结合法、代数推理法、转换法作为解答二次函数相关题目常用的几种方法，学生在课下应当积极练习，达到熟练掌握，如此才能够在考试中灵活运用，提高答题的效率，提高考试成绩.

参考文献：

[1]谭极阳，谭杰中.浅析二次函数中三角形面积最值问题的解题策略[J].理科考试研究，2021，28（2）：18-21.[2]黄湖.初中二次函数动点问题解题策略研究[J].数学教学通讯，2020（20）：77-78.

[3]李金华.二次函数综合题型解题策略与技巧[J].数理化解题研究，2019（14）：6-7.