APP下载

直角三角形的判定

2022-05-30张兴筑

数理天地(初中版) 2022年13期
关键词:过点直角边长

张兴筑

【摘要】 直角三角形是三角形中一类特殊的三角形,很多几何问题需要借助直角三角形来解决,准确判定或构造直角三角形,是解决问题的关键. 本文举例说明判定直角三角形的几种方法.

【关键词】 直角三角形;判定

1 根据三角形的角来判定

定义 如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形是直角三角形;

定理 如果三角形中有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.

例1 如图1,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,CD上,且AE=DF=2,BE与AF交于点G,点H是BF的中点,连接GH,求GH的长.

解 因为四边形ABCD是正方形,

所以∠BAE=∠ADF=90°,

AB=AD.

在△BAE与△ADF中

AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,

所以△BAE≌△ADF.

于是∠ABE=∠DAF.

因为∠ABE+∠AEB=90°,

所以∠DAF+∠AEB=90°.

于是∠BGF=∠AGE=90°.

因为∠C=90°,

BC=5,CF=3,

所以BF=BC2+CF2

=52+32

=34.

因为∠BGF=90°,

点H是BF边的中点,

所以GH=12BF=342.

2 根据三角形三边的关系来判定

勾股定理的逆定理:如果三角形中两条边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角.

例2 如图2,在△ABC中,点D是边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13 . 求证:AB⊥AD .

证明 如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接CE.

因为点D是BC的中点,

所以CD=BD.

在△CDE与△BDA中,

CD=BD,∠CDE=∠BDA,DE=AD,

所以△CDE≌△BDA.

于是∠CED=∠BAD,

CE=AB=5.

在△ACE中,CE=5,

AE=2AD=12,AC=13,

因为52+122=132,

即CE2+AE2=AC2.

于是∠CED=90°.

从而∠BAD=90°.

所以AB⊥AD .

3 根据三角形的中线与边的关系来判定

定理 如果三角形一条边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

例3 如图3,在△ABC中,点E为边AC的中点,过点E的直线交BC边于点F,點D为直线EF上一点,且AD=CD,过点A作AG∥BC交DE于点G,当BF=AG时,求证:△ABC是直角三角形.图3

证明 如图3,连接AF.

因为AD=CD,

点E为边AC的中点,

所以DF⊥AC.

于是AF=CF.

因为点E为边AC的中点,

AG∥BC,

所以∠AGE=∠CFE,AE=CE.

在△AEG和△CEF中,

∠AGE=∠CFE,∠AEG=∠CEF,AE=CE,

所以△AEG≌△CEF.

于是AG=CF.

因为BF=AG,

所以BF=CF=AF,

即AF=12BC.

因此△ABC是直角三角形.

练习

1.如图4,已知等边△ABC的边长为4,点D,E分别是AB,BC边的中点,F为AC边上的点,且∠C=2∠CEF,点G为EF的中点,连接DG,求DG的长.

2.如图5,在正方形ABCD中,已知点E是边BC的中点,点F在边AB上,且BF=13AF,请你判定DE与EF之间的数量关系和位置关系,并说明理由.

3.如图6,在△ABC中,∠ABC=5∠ACB,D是AC边上的点,BD垂直于∠BAC的平分线AF,垂足为点F,M是BC边的中点,E是线段BM上的一点,且EM=EF,求证:DE⊥BC.

4.如图7,在△ABC中,AC=BC,点D为边AB的中点,点E为AB边上的一点,过点B作BF⊥CE,垂足为点F,BF与CD相交于点G,当AE=CG时,求证:CD=AD .

答案

1.192.

2.DE=2EF,DE⊥EF.

3.提示:连接FM.

4.提示:过点A作AM⊥CE,垂足为点M,与CD的延长线交于点N.

猜你喜欢

过点直角边长
缘起“一线三直角”
大正方形的边长是多少
一个圆锥曲线性质的推广
多少个直角
化归矩形证直角
巧比边长与转化思想——以人教版三年级上册为例
初识“一线三直角”
一个关于三角形边长的不等式链
数学(二)
错在哪里