直角三角形的判定
2022-05-30张兴筑
张兴筑
【摘要】 直角三角形是三角形中一类特殊的三角形,很多几何问题需要借助直角三角形来解决,准确判定或构造直角三角形,是解决问题的关键. 本文举例说明判定直角三角形的几种方法.
【关键词】 直角三角形;判定
1 根据三角形的角来判定
定义 如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形是直角三角形;
定理 如果三角形中有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
例1 如图1,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,CD上,且AE=DF=2,BE与AF交于点G,点H是BF的中点,连接GH,求GH的长.
解 因为四边形ABCD是正方形,
所以∠BAE=∠ADF=90°,
AB=AD.
在△BAE与△ADF中
AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,
所以△BAE≌△ADF.
于是∠ABE=∠DAF.
因为∠ABE+∠AEB=90°,
所以∠DAF+∠AEB=90°.
于是∠BGF=∠AGE=90°.
因为∠C=90°,
BC=5,CF=3,
所以BF=BC2+CF2
=52+32
=34.
因为∠BGF=90°,
点H是BF边的中点,
所以GH=12BF=342.
2 根据三角形三边的关系来判定
勾股定理的逆定理:如果三角形中两条边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角.
例2 如图2,在△ABC中,点D是边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13 . 求证:AB⊥AD .
证明 如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接CE.
因为点D是BC的中点,
所以CD=BD.
在△CDE与△BDA中,
CD=BD,∠CDE=∠BDA,DE=AD,
所以△CDE≌△BDA.
于是∠CED=∠BAD,
CE=AB=5.
在△ACE中,CE=5,
AE=2AD=12,AC=13,
因为52+122=132,
即CE2+AE2=AC2.
于是∠CED=90°.
从而∠BAD=90°.
所以AB⊥AD .
3 根据三角形的中线与边的关系来判定
定理 如果三角形一条边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
例3 如图3,在△ABC中,点E为边AC的中点,过点E的直线交BC边于点F,點D为直线EF上一点,且AD=CD,过点A作AG∥BC交DE于点G,当BF=AG时,求证:△ABC是直角三角形.图3
证明 如图3,连接AF.
因为AD=CD,
点E为边AC的中点,
所以DF⊥AC.
于是AF=CF.
因为点E为边AC的中点,
AG∥BC,
所以∠AGE=∠CFE,AE=CE.
在△AEG和△CEF中,
∠AGE=∠CFE,∠AEG=∠CEF,AE=CE,
所以△AEG≌△CEF.
于是AG=CF.
因为BF=AG,
所以BF=CF=AF,
即AF=12BC.
因此△ABC是直角三角形.
练习
1.如图4,已知等边△ABC的边长为4,点D,E分别是AB,BC边的中点,F为AC边上的点,且∠C=2∠CEF,点G为EF的中点,连接DG,求DG的长.
2.如图5,在正方形ABCD中,已知点E是边BC的中点,点F在边AB上,且BF=13AF,请你判定DE与EF之间的数量关系和位置关系,并说明理由.
3.如图6,在△ABC中,∠ABC=5∠ACB,D是AC边上的点,BD垂直于∠BAC的平分线AF,垂足为点F,M是BC边的中点,E是线段BM上的一点,且EM=EF,求证:DE⊥BC.
4.如图7,在△ABC中,AC=BC,点D为边AB的中点,点E为AB边上的一点,过点B作BF⊥CE,垂足为点F,BF与CD相交于点G,当AE=CG时,求证:CD=AD .
答案
1.192.
2.DE=2EF,DE⊥EF.
3.提示:连接FM.
4.提示:过点A作AM⊥CE,垂足为点M,与CD的延长线交于点N.