化归思想在三角函数解题中的应用

秦艳萍

【摘 要】  三角函数是高中数学的重要知识点，涉及较多的概念与公式.相关习题情境复杂多变，应用的解题思想不尽相同.其中在化归思想指引下解题可达到化难为易，提高解题效率的目的.教学实践中应做好化归思想相关理论知识的讲解，结合具体例题为学习者展示针对不同题型如何进行化归.

【关键词】   划归思想;高中数学;三角函数

1 方程向函数的转化

方程与函数关系非常密切  [1] .将方程向函数转化的目的在于运用函数的图象、性质降低方程问题难度，以达到顺利解题的目标.需要注意的是解答三角函数习题时应注重三角函数图象的特殊性，能够准确的分析与判断出三角函数的对称轴、对称中心、周期等相关内容.另外，针对部分三角函数习题，还需要配合使用整体思想，从整体上把握相关参数之间的内在关联.

例如   已知关于x的方程（ sin x+ cos x）  2 + cos 2x=m在区间（0， π ]上存在两个相异实根x  1 ，x  2 ，且|x  1 -x  1 |≥  π  4 ，则实数m的取值范围为（  ）

（ A ）[0，2）.      （ B ）[0，2].

（ C ）[1， 2 +1].   （ D ）[1， 2 +1）.

因为 sin   2 x+ cos   2 x=1，2 sin x cos x= sin 2x，所以（ sin x+ cos x）  2 + cos 2x=m時可得 sin 2x+ cos 2x=m-1，由辅助角公式可得 sin （2x+  π  4 ）=  2  2 （m-1）.令t=2x+  π  4 ，即， sin t=  2  2 （m-1）在区间（  π  4 ， 9 π  4 ]上有两个不同的实根t  1 ，t  2 ，作出y= sin t（  π  4

2 函数向方程的转化

函数向方程转化在高中数学解题中也较为常用，只是对于大多数学习者而言很少关注.函数向方程转化主要结合函数上某一点构建相关等式关系.函数向方程转化主要用于解决函数图象相交、函数零点等问题.  [2] 实践中为使学习者掌握转化的相关规律，应注重在课堂上多与学习者互动，多启发学习者，通过引导使其能够自己顿悟，如此才能使其真正的掌握，内化为自身能力.

例如   已知函数f（x）=| cos x|（x≥0）的图象和过原点的直线刚好有四个交点，设其中最大交点的横坐标为θ，则 2θ （1+θ 2） sin 2θ 的值为（  ）

（ A ）-2.      （ B ）-1.

（ C ）0.    （ D ）2.

根据题意可知直线和f（x）=| cos x|（x≥0）在区间（ 3 π  2 ，2 π ）的图象相切，此时f（x）= cos x，相切时对应的横坐标最大，切点坐标为（θ， cos θ）.由导数知识可得f′（x）=- sin x，则直线的斜率为 - sin θ ，则对应的方程为y- cos θ=- sin θ（x-θ）.整理得到y=-x sin θ+θ sin θ+ cos θ.而该直线过原点，即，θ sin θ+ cos θ=0，解得θ=- cot θ， 则 2θ （1+θ 2） sin 2θ = -2 cot θ （1+  cot   2θ） sin 2θ = -2 cot θ （1+  cot   2θ） sin 2θ =- 1   sin   2θ+  cos   2θ =-1，选择（ B ）.

3 数向形的转化

数、形是高中数学研究的两个非常重要的对象.两个对象在某种层面上具有统一性，解答三角函数时关注两者的统一性，实现彼此之间的转化，是解题的重要思路.  [3] 其中结合“数”并联系所学想象与画出对应的图形，可降低“数”运算的复杂程度，提高计算正确率.教学实践中应注重为学习者汇总与三角函数相关的图形，实际掌握画相关三角函数图象方法，夯实其画图的基本技能，为数向形顺利地转化，高效地解题奠定基础.

例如   已知函数f（x）=2 sin （ωx+φ）（ω>0，-  π  4 <φ<  π  4 ）的零點为x轴上的所有整数，则函数f（x）和函数g（x）= 2 5 x图象的交点个数为（  ）

（ A ）8.  （ B ）9.  （ C ） 10.  （ D ）11.

根据题意结合三角函数性质可知f（x）=2 sin （ωx+φ）的最小正周期为2，则ω= 2 π  T ，又因为f（0）=0，-  π  4 <φ<  π  4 ，则φ=0，则f（x）=2 sin  π x，在同一直角坐标系中作出f（x）=2 sin  π x和g（x）= 2 5 x的图象，如图所示，可清楚地看到两个函数的交点为11个，选择（ D ）.

4 形向数的转化

解答三角函数习题时有时需要将形转化数.但是仅仅知道这一点是不行的，还需要掌握转化的思路，转化后数据的处理.其中形向数转化的思路较多，在三角函数部分主要借助正余弦定理进行转化，以构建与图形相关的数量关系.当然在处理数据时还应注重挖掘与运用图形中的隐含条件，把握图形变化中线段、角度的变化边界.

例如   图2所示，四边形ABCD的四个顶点共圆， cos ∠ABD= 5 13 ，AB=14，AD=15.

（1）求BD和 sin A的值;（2）求四边形ABCD周长的最大值.

对于问题（1）在△ABD中由余弦定理，可知 cos ∠ABD= AB 2+BD 2-AD 2 2AB·BD ，将 cos ∠ABD= 5 13 ，AB=14，AD=15代入解得BD=13.因为 cos ∠ABD= 5 13 >0，可知0<∠ABD< 2  π  ，易得 sin ∠ABD= 12 13 ，由正弦定理可得 AD  sin ∠ABD = BD  sin A ，解得 sin A= 4 5 .

对于问题（2）由已知可知A+C= π ，即， sin C= 4 5 ，由（1）知BD

参考文献：

[1] 郭婵萍.转化思想在“三角函数”教学中的应用[J].数学学习与研究，2021（34）：29-31.

[2]牟晓丹.浅谈中学三角函数试题中的转化与化归思想[J].数学学习与研究，2019（06）：103.

[3]张广科.三角函数中的转化与化归思想[J].中学教学参考，2016（35）：53.