有理数运算的三个技巧

申新春

在进行有理数运算时，除了用常规的方

法之外，如果能根据题目的结构特点，灵活地运用一些运算技巧，则可以简化运算过程，极大地提高运算的速度和解题的效率.现举例介绍有理数运算的三个常用技巧.

技巧一：凑整法

凑整法，顾名思义，就是把能够凑成整数的数放在一起进行运算.这种方法是有理数运算中最为常用的简便运算方法.它可以降低解题难度，达到“快而准”的运算目的.

例1计算：9.8+99.8+999.8+9999.8+ 99999.8.

分析：此題数字偏大，若直接计算易出错.观察题中的数字接近整十、整百、整千等整数，不妨先凑整，再计算，则可以避免错误发生.

解：原式=（10-0.2）+（100-0.2）+（1000- 0.2）+（10000-0.2）+（100000-0.2）

=10+100+1000+10000+100000-0.2x5

=111109.

例2 计算：

分析：观察题目，不难看出，题中有些数加起来可以凑成整数，不妨利用凑整法求解.解：原式=（35/7+527）+（29—16—3）+（—8.2—2.8）=9+10-11=8.

点评：当题目中的某些数或式子接近整十、整百，或相加、相减起来可以凑成整数时，可以优先考虑凑整法，使解题事半功倍.

技巧二：拆分法

拆分法是指把某些数或式子拆分成和差、乘积的形式，进而化简变形，达到求解的目的.当某些有理数运算较为复杂时，同学们要注意转变思路，将某些代数式进行拆分变形，使求解过程简单明朗.

例3 计算：

分析：本题若直接通分计算，较为棘手.观察算式结构，可以看出前后项之间联系紧密，这样就可以把每个分数中的分母拆分成两个连续自然数的乘积，再转化为两个分数之差，前后连续的两项就可以相互抵消，问题也就化难为易了.

解：原式

例4 计算：

分析：此题若按照一般思路，根据算式的运算顺序一步步计算，显然较为麻烦.但若能巧妙裂项，把带分数的整数部分与分数部分进行拆分，再结合起来进行运算，则可以快速得解.

解：原式

点评：拆分法是解答有理数运算问题的一种有效方法.在分数运算，尤其是带分数运算中，把带分数拆成整数与真分数的差或和，再运用分配律展开计算，就简单多了.

技巧三：换元法

换元法即把问题中的某个部分看成一个整体，然后设立新的未知数进行替换，通过求出新元，进而得出原问题的解.对于某些结构复杂的问题，巧用换元法，可以使复杂问题简单化，使求解之路变得顺畅.

例5计算：

分析：此题若按照常规思路通分相加，计算量较大.观察题干，不难看出算式中的后一项实际上是前一项的，若能巧妙设元，则能轻松解题.

解：设

则

两式相减，可得：

解得

所以，原式

例6计算：

分析：本题直接计算十分繁琐.仔细观察题目结构特点，可以发现算式中存在相同的代数式，不妨通过换元简化运算.

解：设

则

原式

点评：当代数式较为繁杂，且代数式之间存在某种关联性时，若能用新字母替换这个代数式，则可使运算避繁就简.

有理数的运算是同学们在初中必须掌握的一项基本技能.同学们在运算的过程中要达到一准二快的标准，除了要熟练掌握各种运算法则、正确处理运算顺序外，还要掌握以上这些常用技巧，并学会结合题目的内在特点，对各种技巧灵活加以运用.