设计几何学在造型设计中的应用研究

秦小宇

关键词：设计几何学 造型 黄金分割法 √2分割法 形态设计

中图分类号：J 文献标识码：A

文章编号：1003-0069（2022）07-0154-04

引言

轰轰烈烈对的工业革命浪潮的到来，为设计领域带来了功能主义、抽象主义、几何形态、理想主义等特征。设计形态从中世纪的哥特式、巴洛克式等古典主义风格转变为了“方盒子”式的现代主义风格，风格由原来的浮夸的、张扬的、矫揉造作的形态转变为了简洁的、存粹的、抽象的形式。随着现代主义设计运动的到来，设计师们开始探索几何学的应用。并形成了一系列的设计几何学理论体系与方法[1]。深入研究并运用好设计几何学方法与理论，对当代设计形态学有着重大的理论意义和实践意义，对当今产品、建筑、平面设计有着重要又深远的意义。

一、设计几何学相关原理

（一）黄金分割比例

黄金分割比例是造型设计中最常用的比例之一，也是设计形态学中非常重要的方法之一。黄金分割点是指在一条线段中取一点，较长部分线段比上整体线段的比值等于较短线段比上较长线段的比值，其比值约等于0.618[2]。通过调查研究表明，这个比例被认为是最符合人类视觉美感的比例，因此被誉为黄金比例。

类似黄金分割率的关系是一个叫作斐波那契数列的定律，由一位叫作雷昂那多·斐波那契数学家根据兔子实验而得出的一个规律：假设一只成年兔子一个月后才能繁殖，每次繁殖能生出一只幼年兔子，生出的幼年兔子又得经过一个月才能成熟并可以繁殖，假设兔子长生不老，那么N个月后，又有多少只兔子？

即：F（n）=F（n-1）+F（n-2），n≥3。在整个斐波那契数列中，随着数值的增大，两个相邻的值更接近黄金比率，即0.618。斐波那契数列与黄金分割比例关系及其密切，两者相互联系，不可分割[3]。

（二）根号比例

书本纸张比例大多为1：1.414，也就是通常說的根号 2 矩形。该值接近黄金矩形的比率。但最大的优点是，如果无线对折分割仍然可以得到两个相同比例的根号2矩形：连接上下边缘中心线长度的轴可以得到两个相同且更小的矩形，按照这种方式可以无限推导。在人们的的日常生活中，存在大量的图形案例度使用了根号矩形的方法。其中根号 2比例的矩形是生活中是最常见的，经常使用的2开纸就是所谓的根号2比例的矩形，这中纸的比例看起来不仅均匀舒适，更重要的是，即使纸张一次又一次地对折都可以得到相同的比例，既根号2比例，仍然可以不发生变化，这样便于最大限度地利用纸张，不浪费纸张，达到绿色环保可持续的目的[4]。

二、艺术中的设计几何学

针对人体比例，维特鲁威对其进行了系统的归纳与总结，通过维特鲁威对人体比例的描述：如果一个人平躺在地上，背部朝下，手和腿张开，肚脐是圆圈的中心，手或腹趾之间的距离是半径（手和腹趾之间的距离等于脚趾之间的距离），他的手指和脚趾只在弧线上方移动。同时，人体可以形成一个正方形。通过测量，从脚到头顶的高度等于手臂伸展时双手两端之间的距离，正好在正方形内。莱昂纳多·达芬奇准确地描绘了人体比例与尺寸，如图 1。达芬奇描绘的人体比例隐藏着严谨的黄金比例：以人体肚脐为界点，上面为上身，下面为下身。举起手后，手离地面的高度是腹部离地面高度的两倍。上半身与下半身的比例为0.618 黄金比，下半身设为 1，于是上半身便为Ф，则人的身高（上身加下生）为 h=1+Ф，举手高度为H=2。身高与举高手尖之间的距离为：D=H-h=2-（1+Ф）=1-Ф。同时，会阴高为身高的一半，可得出人体肚挤眼到会阴的距离为d=（H-h ）/2=（1-Ф）/2。

在达芬奇传奇的一生中，其中以绘画艺术作品《最后的晚餐》最为有名，这幅壁画非常透视精准、准确的描述和优秀的人物塑造已经受到世界各地人们的赞赏，见图2。最后的晚餐构图将黄金比例关系显示得淋漓尽致，这些逻辑严谨的黄金分割比例使画面呈现出和谐有秩序的视觉体验[5]。画面四个角对角线的中心点，叫透视中心点，耶稣正好位于这个点上;画面左侧的犹大，处于画面三次分割的黄金分割线上，那只拿着钱袋的手，也处于黄金分割线上。通过这些人物的构成与视觉上的安排，即使没有钱袋子和恐怖的表情，也同样可以清楚地知道犹大是谁。人物和绘画的完美结合，以及精细的构图给人身临其境的感觉。

三、设计几何学在造型设计中的应用

（一）设计几何学在建筑造型设计中的应用

印度的泰姬陵号称是“世界新七大奇迹”之一，在整个泰姬陵建筑的造型设计上也遵循着内在的规律与秩序，见图3。泰姬陵的陵身由两个相同大小并重叠的黄金矩形组成，重叠的部分也是一个竖向黄金矩形，与泰姬陵的大门相吻合，在重叠的竖向黄金矩形内，上下两个内接正方形重叠的矩形宽度与大门内窗户的长度一致。

巴黎圣母院不仅是哥特式建筑的典型代表，也是设计几何学的一个应用实例。它充分利用辅助线来表达建筑师的意图，见图4。通过几何学分析，可以发现巴黎圣母院的正视图刚好内接在黄金矩形里面，整个建筑被分为九个小黄金矩形，建筑通风窗的位置正好处于外轮廓的大黄金矩形的对角线交点，通风窗的直径是前主圆直径的1/4。同时建筑正门也为一个黄金分割矩形，建筑的整体形式与周围环境相辅相成，相得益彰。

见图5，在古希腊的帕台农神庙中，古希腊建筑师增加了黄金比例。整个神庙都建在一个黄金比例的长方形中（长方形的长与宽之比为1.618），黄金矩形的黄金分割线线几乎与支撑寺庙的柱子重合。从庙底到柱子顶部的高度和从柱子顶部到庙顶的高度正好与竖向黄金矩形的黄金分割线分开。帕台农神庙的设计，从整体形状到每个装饰细节，都遵循黄金比例规律[6]。

相比于西方偏爱的黄金比例，中国古代建筑更爱采用√2：1，√3：2的比例。这个比例可以起源于中国古代数学与工艺著作——《周髀算经》和《营造法式》中的圆中方、方中圆图。《周髀算经》中指出：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。我国现存最大、结构最完整、艺术价值最高的唐代木殿非五台山佛光寺东大殿莫属，被梁思成誉为“国内古建筑之第一瑰宝”，见图6。大厅宽七间，深四间，顶部有单檐和阳台。平面的内柱和外柱被大厅的内槽和外槽包围。主要雕像有35座。它们位于内部凹槽中，有五个房间宽，两个房间深。外槽像回廊，是信众礼佛的空间。佛光寺东大殿设计手法之关键在于：整个空间设计的“起源”是，明间佛像的净高等于明间佛像净高的两倍（明间佛像宽度的两倍）。大厅的总高度为明间面阔2√2倍，即主佛像净高的4倍正殿底部的总宽度是大佛的两倍。大殿台基总宽为大殿总高的2√2倍（即明间面阔的8倍）——矩形佛光寺东殿的基本构图母题为边长比为2√2：1的矩形，将殿的立面与剖面融为一体，体现了天人合一的宇宙观，和天地之和的文化观，实现了建筑空间与雕塑家具的完美比例关系[7]。

（二）设计几何学在产品造型设计中的应用

在产品设计活动中，将设计几何学应用与造型设计中，同样适用并合理，现代主义设计中，已经有大量设计先辈发现并利于几何学规律在产品形态设计中。设计几何学特征的产品形态显得更有秩序与逻辑，受到了许多设计师与制造商的推崇。

甲壳虫汽车作为二战科技的产物，见图7，其圆滑流畅的造型，给人速度感与科技感。在甲壳虫汽车新颖的造型设计中，设计师同样赋予了其内在的规律与秩序。整个车壳外形大致为一个二分之一黄金椭圆（内置在黄金矩形里面并与黄金矩形相切，短轴比长轴约为0.618），轮毂、轮胎、轮舱处于同一圆心的同心圆，车窗的造型曲线轨迹也是一个黄金椭圆，这个黄金椭圆正好与前轮轮舱和后轮轮毂想切。

老板椅的设计也遵循着相应的几何学规律，作为舒适生活的象征，老板椅由于其舒适的用户体验与感受，一经上市就受到了推崇，见图8。整个老板椅内接在一个黄金矩形（矩形的宽比长为黄金比例0.618），老板椅的靠背由两个不同大小的黄金矩形相接而成，椅子的坐垫正好与外接黄金矩形的黄金分割点吻合，坐垫将老板椅坐垫以下的区域完美的分割为黄金矩形。老板椅的侧视图的造型同样内接在一个相同大小的黄金矩形内，坐垫也同样与相应的黄金分割线吻合，从整体上看，老板椅的颈椎靠垫的最上方到坐垫的最前方，再到椅子轮子，最后带靠垫与坐垫的衔接处，形成一条的斐波那契螺旋线，所谓的斐波那契螺旋线，就是在黄金比例的矩形中可以分割出一个正方形和另外一个黄金矩形，在分割出来的黄金矩形中，可以继续分割出一个正方形和一个黄金矩形，无限推导下去，将分割出来的正方形中，作四分之一圆弧，所有的四分之一圆弧可以流畅地串联成一个螺旋形，这个螺旋形称之为斐波那契螺旋形。

阿萊西是米兰一家设计制造商，其生产的圆锥壶由是不同的几种几何形体的有机的组合在一起，见图9。壶体的正视图为等腰三角形，壶底为圆形。锅底加热面积大，沸水快。这样的话，壶底加热面积辉更大大，导致烧水会相应更加快。该壶同样蕴含着设计几何学相关原理，整个圆锥壶内接在正方形里。在正方形最上一排的中点位置正好为壶盖的顶点，盖子的把手是一个小巧优雅的金属球，用手按住金属球即可轻松打开。这个球降低了整个水壶的机械化、刚性和没情感的形状。中和了整个锅的刚性和柔却，正方形处于3乘以3的网格之中，壶嘴和手柄分别设置在中心网络的两端。把手的形状很有趣。它形成一个垂直向下的角度，并与网格线重合。茶壶的壶身由圆锥体、圆、三角形、球体、正方形等基本几何形状组成，形式简约又不缺乏内涵。

可口可乐作为最畅销的饮料，一上市就赢得了市场竞争，家喻户晓的可口可乐除了在味觉上深入人心，在包装设计上，同样深入人心。一瓶用玻璃包裹的可口可乐因为采用了女孩身体的曲线而成为经典。在全球消费者的认可与支持下，可口可乐推出了更合理的曲线塑料包装瓶。该瓶身比例与遵循黄金比例，该包装瓶曲线凹凸的位置均满足黄金分割比例关系，便签下面的瓶底与上面标签加瓶口正好为黄金比例，可口可乐瓶的外观结构性几乎与黄金比例的结构线相重合，见图10。

（三）设计几何学在平面造型

设计中的应用设计几何学在平面设计中同样适用，将设计几何学运用到平面设计中，使平面设计美感、规律与逻辑并存，感性与理性相互交叉，给人美的享受[8]。在平面设计大师朱尔.谢雷的作品《福利斯-贝热尔》中，见图11。设计师以三位舞蹈演员为该作品的主体，三个演员付款的动作定格下来。其浮夸的造型，给人极具动态感的感受。这些浮夸的舞蹈动作，看似漫不经心，其实则隐藏秩序：通过副辅助线分析，利用设计几何学相关原理来解析该作品，不难发现这三名演员浮夸的肢体完美落在一个正五边形边缘线上，该正五边形的外接圆圆心正好位于女演员的臀部。将该正五边形分割为两三个等腰三角形时，不难发现两边的两位男演员的形成的三角形两条不同边之比为 1：1.618，既黄金三角形。

一直以严谨理性为名的标杆级工业设计公司——苹果公司，在logo设计上也别有用心。苹果公司的logo是一颗被坑了有口的苹果，漫不经心又深入人心，见图12。看似随意的苹果，却充满了逻辑与秩序。整颗苹果都是严谨推敲出来的结果，叶子两端的弧形到缺口的弧形到所有的弧形，都是由不同大小的圆组成的，这些不同大小的圆形按从小到大排序就是所谓的斐波那契数列。同理，icloud标识也是一样的规律，整个云朵都是由大小不同的圆组成，这些圆从小到大排序形成了斐波那契数列。可以看出，伟大的工业设计公司几十年前就在开始探讨理性与感性共存的设计格局[9]。

阿道夫.穆龙经典的《绝不妥协》海报设计中，巧妙地运用了设计几何学，见图13。这不仅是设计理论与设计方法的成功，更是设计几何学运用于设计实践的成功。阿道夫.穆龙将采用抽象的女性的头部形象运用在海报设计，使用较为简单的几何形体来概括女性头像，深化其内涵。整个海报的版面采用1;根号2的比例，女性的眼睛正好在矩形的对角线上，将矩形分成48个单元格，海报上有许多几何图形，与水平线的角度为15°或45°，在女性的耳朵和嘴上作出的圆形的辅助线可以找到两个大小相等的圆圈。

四、基于设计几何学在产品设计中的实践应用

根据“三层次理论”——即本能层、行为层、反思层。人们在使用产品过程中，必然会经历这三个阶段，在初级层中，用户只对产品最直观的感受以及最初的判断;中级层中，用户开始聚焦产品的功能、可用性与功能性等感知;在高级层中，用户更注重精神要求，也就是产品在满足功能的基础之上，用户会更追求产品的内涵、文化以及其他意义，见图14。这就要求设计的产品中，出除了满足物质功能之外，需要有深层次的内涵意义，设计几何学指导下的产品设计恰好能满足用户对内涵的需求。

在座椅的造型与形态中，适度的比例是造型设计中最基本、最重要的原则之一[10]。将设计几何学相关原理付诸于产品设计中，产品设计拥有了严谨、有秩序、规范的设计方法，使产品设计拥有理性指导下的和谐、统一与优美，摒弃以往停留在表面的、直觉的设计方法[11]。以设计几何学相关原理为理论基础，以黄金分割法为重要方法，借鉴成功设计案例，对家用休闲椅进行了设计与创新，见图15。

该款家用休闲椅严格的遵守设计几何学的相关原理，首先休闲椅在色彩搭配上，采用了粉灰与浅灰的色彩搭配，轻松活跃中透露着低调与严谨。休闲椅在材料运用上，采用钢管结构、布料等现代材料作为休闲椅的主要使用材料。在整个家用椅造型设计上并不是凭直觉与感性设计的，而是经过理性、严谨、有逻辑、有秩序的方式得出的形体设计。正视图与侧视图都处于长与宽之比为1.618黄金比例的黄金矩形中，整个形体正好内接在黄金矩形内。休闲椅的坐垫正好出于黄金矩形的黄金分割线上，将休闲座椅上方分割为正方形，将休闲座椅下方也完美地分割成另一个黄金矩形，见图16。

整个休闲椅的倒角也是经过严谨的推敲形成的，见图17。在休闲椅的侧视图中，钢管结构的倒角与倒角的圆呈现黄金比例关系。支撑休闲椅的钢结构的四处倒角由上下两种不同大小的圆构成，上面的大圆直径为下面小圆的1.618倍，在休闲椅的正视图中，靠背上方两边也是由两个大圆倒角而成，整个休闲椅的三处倒角圆分别命名为大、中、小，正好形成了这样一套规律：大圆除以中圆=中圆除以小圆=1.618.....这种内在的规律赋予了整个休闲椅造型设计上的严谨与轻松的结合、理想与感性的结合、秩序与混沌的结合[12]。

休闲椅除了遵循相应的黄金比例以外，还隐藏着斐波那契规律。休闲椅从侧视图看，椅子靠背的最顶部的端点到椅子坐垫最前端的端点再到休闲椅最底部，最后到休闲椅靠背与休闲椅的桌垫的衔接处，正好形成了一条圆滑流畅的斐波那契螺旋线。将看似规整的休闲椅造型赋予了其运动感与逻辑感，形成了几何学指导下的和谐、统一、循环与规律，见图18。在几何学的规范与约束下，休闲椅的造型设计形成一种感性工学，感性中渗透着理性与秩序，理性中渗透着感性与自由。

结论

将设计几何学相关原理付诸于造型设计中，让造型在具备艺术性，创意性的同时还拥有嚴谨又适度的比例[13]。让造型设计生产活动更为逻辑、理性与秩序。设计几何学既是大自然的杰作，又是人类的智慧，是大自然与人类结合的产物。“美”这个字虽然是一个非常复杂而抽象的概念，然而在几何设计原则的指导下，形式更加和谐、统一和循环，可以明显激发大众的审美意志。在造型设计中，比例、形式和视觉美之间的关系是艺术创造和发展的关键[15]。在产品造型设计中，综合运用设计几何学，不仅可以成为设计师得到造型设计的工具与方法，更为后来的产品造型设计活动提供依据。因此，设计师必须熟悉动态矩形变换与几何关系，充分理解设计中理性与感性的融合与平衡，才能更好地进行设计生产活动[16]。