GeoGebra软件在高中数学教学中的探究性应用

张文香

近些年，随着我国社会生产力和科学技术的不断发展，教育领域也有了较大的变革，教学的理念、方式、手段等都逐渐现代化，这使教师在教学过程中能够获得更高的效率和质量，学生学起来也能够更加轻松和积极。数学是研究多数科学技术的基础学科，其承担着培养学生空间想象、抽象思维、逻辑演绎推理等能力的重要职责。GeoGebra软件作为现代化的教学工具之一，对帮助学生理解和巩固知识有着较为积极的促进作用。因此，教师在教学过程中应当注重该软件的实际运用价值，将其科学、合理地运用在课堂上。

数学是素质教育的重要组成部分，教师在教学过程中要丰富学生的基础数学知识以及提高学生的基本能力，全面提高学生的学科核心素养，使学生能够得到更好的发展。GeoGebra软件的软件对构建高效课堂有着较为积极的意义，教师应掌握其使用方法，以优化课堂的教学质量。为了帮助广大教师能够更好地运用GeoGebra软件，以更直观形象的方式引导学生学习数学知识，本文将立足当前高中数学的教学现状，从GeoGebra软件的基本功能以及特点出发，就其在高中数学教学中的应用策略进行探究。

一、GeoGebra软件的功能及特点

GeoGebra软件的名称来源于“Geo”与“Gebra”的组合，这就很明显地表现出了GeoGebra软件兼具了几何与代数这两大功能。该软件由美国亚特兰大大学数学系教授Markus Hohenwarter所设计，其作为一种自由且跨平台的动态数学软件，能够将几何、代数、表格、图形等直观地呈现在学生眼前。此外，GeoGebra作为一个动态几何软件，几乎涵盖了几何画板了所有功能，无论是简单点、线，面，还是相对复杂的圆锥曲线、函数图形，都能够通过GeoGebra的绘图区轻松展示。GeoGebra还能够对方程、函数等代数问题作出准确且迅速的处理，因为其以Java编程为基础。因此，其动态网页的输出效果相对于其他软件而言更加优异，从而能够有效促进技术交流以及资源共享。与其他的几个主流软件如几何画板、超级画板等相比，GeoGebra更加突出的方面在于以下三点：一是功能更加全面，上文中已经提到GeoGebra有涵盖几何画板的所有功能，此外，GeoGebra具备几何作图、代数运算、数据处理等多种功能。因此，其更能适应中小学短时的课堂教学，教师在教学过程中，可以一开多用，避免了各种软件反复切换导致的时间浪费。二是GeoGebra的应用有利益教师之间的相互交流和学习。该软件特有的“作图过程”以及“作图过程导航条”可以复盘教师整个教案设计的过程，教师在课后，可以就其所制作的内容向其他教师请教，这十分有利于教师的反思工作。三是GeoGebra软件免费，教师在使用的过程中可以实现资源共享，与此同时也方便了教师进行线上的交流和学习，符合当下的环境趋势。

二、应用GeoGebra软件时的注意事项

教师在使用GeoGebra软件的过程中主要需要注意以下问题：一是教师需要让学生基本掌握GeoGebra软件的大致使用方法。GeoGebra软件相对其他软件来说更加容易学习，不过高中学生学起来还是需要一定的时间。因此，教师在教导学生进行应用时可以在复习课上导入这个软件，并引用一些例子帮助学生理解和操作，使学生能够逐步掌握其中的应用技巧。在不耽误教学进度的前提下，学生也能够较好地掌握GeoGebra软件的使用，并在此过程中对相关数学知识再次进行较好的回顾。而GeoGebra软件则能够在学生后续进行协作式的学习发挥巨大的作用。二是要尊重学生的主体地位，鼓励学生自主学习。学生的自主性是保证课堂效率和质量的前提，因此，教师要引导学生凡事多加观察、亲身实践、积极交流，在GeoGebra软件的应用学习中给予学生一定的试错空间，从而促使学生更加积极地投身数学学习。三是教师的准备工作必须全面，充分考虑到在GeoGebra软件的使用过程中可能出现的各种问题，并准备好相关的规避或应对措施。教师需要考虑到整节课的过程教学，还需要准备好GeoGebra软件的数学对象，如教师授课过程、学生合作交流等情境下可能会使用到的对象。此外，教师还需要设计师生、生生之间的互动环节，并考虑到这些环节是否需要教师的引导和协助，而这些过程GeoGebra软件是否又需要被应用到。四是联系学生的课外时间，保证课外所使用在数学学习上的时間是高效且有意义的。课堂教学的时间相对较短，且教育目的和培养目标应该是被贯彻至课堂内外的。因此，教师在上课前就需要将GeoGebra软件所设计的课件通过线上平台发送给学生，让学生进行事先预习以及自主探索，这样能够使教师的课堂教学事半功倍。

三、髙中数学教学中应用GeoGebra软件开展学习的理论分析

将GeoGebra软件与数学教学相结合，能够帮助学生更好地认识和理解数学理论知识。美国著名数学学者杜宾斯等人创立了数学概念学习的APOS理论模型，该模型认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，此建构过程要经历以下四个阶段：操作或活动（Action）阶段、过程（Process）阶段、对象（Object）阶段，以及概型（Schema）阶段。学生能够在这个过程中构建一个相对完整的数学概念体系。在此框架的基础上，又有一些学者提出在应用APOS理论模型的过程中加以计算机编程、多媒体情境等教学手段能够获得更好的教学效果。本文所分析的GeoGebra便是进行网络计算机数学编程的重要软件，在展开学科理论的教学过程中，GeoGebra软件都将成为辅助学生形成科学知识体系的重要手段。此外，除了在学者理论的基础上展开分析以外，多样化表征同样也能够给予我们想要的答案。学生理解数学理论的能力与学生的表征能力有着十分密切的关联，多样化的表征能够促使学生更好地理解各个知识之间的内在逻辑与联系。而数学领域最为主要的表征方式有：心智表征、计算机表征、数学表征、解释表征以及符号表征。GeoGebra软件都能够通过编程的形式将这些表征方式的核心概念以形象的图示呈现在多媒体上，学生通过下文中所提及的方式能够更好地理解GeoGebra的应用，并在结合GeoGebra展开数学学习的过程中加强自身的表征能力，形成两者之间的相互促进、相互辅佐。

四、GeoGebra软件在高中数学中的应用策略

（一）结合协作式学习模式发挥学生的主观能动性

新课改强调教师在教学过程中要注重培养学生的探究能力和实践能力。协作式学习模式使学生能够以小组的形式进行探究学习，从而让学生相互交流、取长补短、共同进步。该模式与GeoGebra软件相结合，能够在启发学生思维以及培养学生数形结合思想方面达到“1+1>2”的效果，这与新课改中数学学科核心素养的培养要求不谋而合，该教学方式在落实最新教育理念及要求的同时，还能够促使学生获得思维的进步和能力的提升。在该模式中，教师首先需要结合学生的特点进行分组，在布置探究任务后，教师以自身的语言描述以及GeoGebra软件配合纸币作为学生之间的交流依据和媒介。这个过程中，教师需要不断地走动观察，鼓励每一个学生发挥出自身的主观能动性，并给予学生适当的试错空间，使学生能够以自身思维的独特性对问题发表见解，并发挥出敢于质疑、勇于创新的精神，积极地投入课堂交流中。其次，教師还需要及时发现问题和接收学生之间的讨论信息，对出现的问题进行归纳，讨论结束后，教师需要邀请小组代表对讨论的内容进行阐述，并让其他小组分析这个小组所总结的内容中的优点以及存在的问题。最后，所有小组汇报完毕后，由教师对小组的答案进行归纳，并利用GeoGebra软件进行演示分析，解答学生疑惑，总结课堂内容。

（二）创设导数应用的学习情境

创设学习情境是现阶段教师进行教学最重要的手段之一，教师需要通过构建学科相应的情景，使学生通过最直观和形象的形式理解相关知识。创设教学情境在现阶段的教学中极为常见，其能够有效激发学生的学习兴趣，树立学习数学的自信心，让学生能够深度感受数学知识的魅力，从而爱上数学学习，以主动、积极的状态投入数学课堂中。在数学教学中，导数这一章的培养目标明确指出，学生需要学会利用导数来判断函数是单调递增还是单调递减。因此，教师在运用GeoGebra时，需要积极利用其功能绘制相应的导函数图像，并进一步创设学习情境，使学生能够将原函数的极值点与导函数的零点相对应和联系起来。在GeoGebra的应用中，教师只需进行简单的两次输入：“Roots[g，x（Corner[1]），x（Corner[2]）]”“Extremum[f，x（Comer[1]），x（Comer[2]）]”，就可以呈现出上文中所要求的图像。此外，因为GeoGebra的便利性，教师仅需掌握其丰富命令的基础指令，GeoGebra就可以实现自动补齐，这对教师和学生而言都大大提高了课堂效率。另外，还有值得提到的一点，GeoGebra能够重现制图过程。因此，教师在教学反思时能够迅速地回顾教学过程，并通过对GeoGebra软件的数据再现，发现教学过程中存在的问题，并及时进行纠正，这在一定程度上为教师之间的共享和交流提供了便利，促使教师提高自身教学水平的同时，也为教师的思路建构、课堂的补充拓展提供了便利，有利于教师构建合适的学习情境。

（三）引导学生进行独立思考和自主研学

在应用GeoGebra教学时，教师可以引导学生理解教材中的基本内容，并适当挖掘其中的内涵，使学生能够对所学知识有一个更为深刻的认识。培养学生独立思考和自主学习的能力，是高中数学教学中的重要一环，教师要事先准备好GeoGebra课件，带领学生先探索课程内容，为学生之后的独立探究打下坚实的基础。在传统的教学课堂上，学生独立思考过程中最大的障碍在于学生的自主学习缺少反馈，无论是教师还是学生的直接、间接反馈都不够充分和及时，这就导致了教师的主导与学生的主体连接不够密切，缺乏互动和沟通，从而使学生在学习的过程中面对一些晦涩难懂的关键点时常常一头雾水，GeoGebra的应用需要师生之间的密切配合，方能达到最好的教学效果。在使用教师提供的GeoGebra课件时，学生需要利用该作图软件自身所具备的直观性和互动性，尝试自行了解，而教师在这个时候必须留心观察学生的课堂反应和学习状况，给予学生适时的点拨和指导，使学生最终能够做到灵活应用、举一反三、触类旁通的同时，能够感受到几何语言的魅力，从而激发其学习的探索兴趣。这个阶段结束以后，学生能够加深和巩固对所学内容的认知，减少学习过程中所产生的迷茫和困惑，使其在学习过程中能够更加高效和精准地抓住问题关键，并分析和解决相关问题。

（四）利用GeoGebra绘制分段函数图像

我国著名数学家华罗庚先生曾言：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”由此可见，数形结合的对数学学习而言尤为重要。而GeoGebra软件最为显著的特点在于其能够帮助学生更为直观且形象地理解函数性质。因此，GeoGebra软件的应用可以说是数形结合思想的展示，该思想在帮助和学生解题，深度剖析题目内涵方面有着极为重要的作用，数形结合思想也是培养学生数学学科核心素养的重中之重。教师在函数教学时，就可以利用GeoGebra绘制出函数图像，并引导学生抓住其中的关键信息以及突破点。在绘制分段函数的应用中，GeoGebra的积极作用更为突出。教师可以在命令框中输入相应的分段函数内容“If[X≥一1，x2-2x，x+4]”便可以得到相关图像，之后教师就可以直接在GeoGebra软件上进行题目讲解，节省教师在黑板上作图以及反复修改的时间，而学生也能够在GeoGebra软件的精准展示下，迅速地锁定关键数据，再通过自身的演算和思考，最终得出题目所要求的答案。此外，在GeoGebra中，教师可以在建立方式时，利用几何方式，或者更为精确的代数定义，GeoGebra所能够运用到的丰富指令，都为教师的教学方式建立提供了良好的条件，教师则需要抓住GeoGebra软件的特点，在教学中正确、科学地运用该软件，使学生能够得到更具系统化的联系，增强其数形结合的应用思维。

（五）课程融合，发展学生个性

针对学科的教育技术软件，必须具备学科特有的应用工具，才能最大程度上展现出现代化教学手段的运用效果。GeoGebra软件作为一个现阶段相对成熟和较为优秀的数学教学软件，其全面的功能将代数、绘画、几何等几个区域密切地联系在了一起，且几乎覆盖了整个高中数学的教学领域。GeoGebra软件的应用实现了数学的演绎推理过程的可视化，让学生能够从最为直观且形象的视角思考数学的奥秘。此外，教师不仅要在课堂上积极使用GeoGebra软件，还应当适当地指导学生掌握GeoGebra的使用方法。部分学生在数学学习方面有着相对于其他学生有更强的探索欲望，这些学生在学习数学时就可以使用教师所提供的GeoGebra应用方法进行自主探索，打破基础教学的局限性，使这些学生获得更深层次的认知。而基础中等或基础稍弱的学生，GeoGebra的应用同样也可以让其进行练习和回顾，从而让学生能够把握基础的高中数学内容。

五、结语

综上所述，将GeoGebra软件充分应用在高中数学的教学中，不仅对学生有着十分积极的促进作用，而且其能够帮助教师有效提高教学质量、构建高效课堂。

（宋行军）