指向深度学习的高中数学作业设计探讨

2022-05-30吴玉章

中国数学教育（高中版） 2022年12期

摘要：作业是教与学的交会点，是师生教学交互的重要媒介之一，聚焦高中数学作业的设计对深度学习具有重要意义. 作业是促进深度学习中知识内容体系建构的一种手段，也是落实深度学习中学生主体地位的重要抓手. 促进深度学习的高中数学作业设计，应该遵循主体普适性原则和功能承载性原则. 同时，要注重反馈评价为先、明确立足质量为本策略．

关键词：深度学习；高中数学；作业设计

数学作业设计是指教师根据教学目标和数学课程标准，考虑学生的不同特点和知识能力水平，针对某一具体教学内容，通过选择重组、改编完善、自主开发等手段，为不同类型的学生设计出符合他们自身特点和需求的非教学时间需要完成的任务活动. 作业是高中数学教学活动不可或缺的重要组成部分，教师通过学生的作业反馈可以对学生数学核心素养的达成情况进行客观评价，对自己的教学得失及时进行调整和改进；学生通过作业可以巩固课堂所学知识，加深对所学知识的理解并形成相应技能. 作业设计的好坏关系着学生能否经历有意义的学习过程. 鉴于此，笔者结合自己的教学实践，探讨高中数学作业设计的原则与策略，力求促进学生深度学习的发生.

一、指向深度学习的高中数学作业设计的概念界定

深度学习是一个不断变化的概念，不同视角的研究者对深度学习的界定也会有所不同. 本文采用文献［3］和文献［4］的界定，即“所谓深度学习，就是指在教师的引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，主要包括核心知识、批判性思维、问题解决、团队协作、学会学习、有效沟通六个维度的能力”. 其中，挑战性体现在学生对知识的高层次认知上，指向发展学生的思维；学习主题是关联知识内在结构的学习单元.

让学生深度参与学习过程是深度学习的关键，使学生的思维得到发展是深度学习的目的. 因此，在深度学习和数学作业设计概念界定的基础上，本文将指向深度学习的高中数学作业设计的概念界定为：教师以促进学生的深度学习为目的，组织开展高中数学作业设计，旨在强调学生对知识本质的理解，以及对学习内容的批判性利用，追求有效的沟通协作、学习迁移和问题解决，以发展思维为主要活动的高投入学习.

二、高中数学作业设计促进深度学习的价值内涵

1. 数学作业设计是促进深度学习知识体系建构的一种手段

学习主题是关联知识内在结构的学习单元，在整个教学过程中起着承前启后的重要作用，深度学习需要学生围绕具体的学习主题展开. 如果将教师教学定义为学生数学认知结构的初步建构，那么数学作业则是学生数学认知结构的第二建构，与课堂教学相辅相成、互为补充. 教师要从学生的认知规律出发，站在学生的立场上去设计作业. 根据不同课型，可以将作业分为学情了解作业、概念理解作业和拓展外延作业，这些作业是一个具有内在联系的整体，突出体现指向深度学习的高中数学作业设计的要求. 主要是帮助学生了解知识内容、理解概念本质、发展数学思维. 教师要通过系统性的作业设计帮助学生理解所学知识，从而让学生建构起自己的知识内容体系.

案例1：“函数的奇偶性”作业实例.

作业1：判断下列函数的奇偶性：（1）[fx=5x;] （2）[fx=5x;]（3）[fx=5x2，x∈-1，2;]（4）[fx=][5x-12.]

【设计意图】通过列举常见的函数，让学生学会从图象、反例、定义三种不同的角度来处理问题，加深对函数的奇偶性定义的理解与运用.

作业2：（1）函数[fx=x3+5x]的图象具有怎样的特征？

（2）对于函数[fx=x3+5x，] 你能通过添加项使它仍然是奇函数吗？偶函数呢？既是奇函数又是偶函数呢？既不是奇函数也不是偶函数呢？

【设计意图】作业的设计改变了直接判定函数奇偶性的方式. 函数[fx=x3+5x]的图象学生并不熟悉，通过设问图象特征，以及添加项构造不同的函数，深化学生对函数的奇偶性的理解.

作业3：设[fx]是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a + b ≠ 0时，都有[fa+fba+b>0.]

（1）若a＞b，试比较[fa]和[fb]的大小关系；

（2）若[f1+m+f3-2m≥0，] 求实数[m]的取值范围.

【设计意图】为学有余力的学生设计含参数问题作业，拓展性作业的设计不局限于解题练习，而是赋予高中数学作业更加灵活和多样的形式.

以上三組作业体现了系统的数学作业设计，通过多维设置基础性作业，强化学生的基础知识和基本技能；通过设置含参拓展性作业，加强学生的思维训练. 这样的作业设计的价值不只是解题训练，还起到了复习与预习的作用，是促进深度学习知识体系建构和优化学生能力体系的一种手段.

2. 数学作业设计是落实深度学习中学生主体地位的重要抓手

深度学习需要学生全身心投入才有可能发生. 要想实现学生的全身心投入，教师就必须在数学作业设计中落实学生的主体地位. 教师是学生学习的引导者，也是学生学习过程的设计者，要通过设计合理的作业给学生创造自主学习的机会，同时为师生、生生间的交流与合作提供更广泛的空间. 一般来说，高中数学作业的设计需要从两个维度展开：一是以课堂所学知识点为中心，强化“四基”的落实；二是对知识的整合与提高，提升学生的思维能力. 这两个维度都要注意体现教师的主导地位，以及学生的主体地位，使学生围绕学习重点深度参与，在主动参与学习的过程中，获得思维的提升，进而将学到的数学知识迁移到新的情境中，以解决新的问题.

案例2：“函数应用”作业实例.

阅读材料：北京机动车保有量.

北京是一个人口约为2 000万的特大城市，交通拥堵问题一直比较严重. 为了缓解拥堵，2011年小客车限购政策正式实施. 从2011年到2015年，小客车限购指标分别为24万、24万、24万、12万、12万，在未来的几年中，小客车限购指标将减少至每年10万. 通过调控，北京市机动车（包含小客车和非小客车）增长趋势得到了一定的控制（如图1）. 截至2015年年底，北京市机动车保有量为562万. 市交通委此前发布规划：力争到2022年将工作日高峰时段交通指数保持在6.0及以下，全市机动车保有量控制在630万辆以内.

问题1：若不实行限购，试估计2015年年底北京市机动车保有量约为多少.

问题2：按照现行小客车限购政策，试预测2022年北京市机动车的保有量能否达到控制目标.

【设计意图】这是一道情境设置的数学建模作业题，要求学生联系实际并用所学知识去发现问题，经历利用函数拟合的过程，最终得到符合实际规律的结果，并对结果的合理性进行评价，提高学生提取数据和分析数据的能力，让学生感受应用问题的现实意义.

教师引导学生将关联情境转化为熟悉情境，在情境的变化过程中抓住数学知识的本质，促进学生对知识的应用迁移，提高学生解决数学问题的能力. 这种方式有利于学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析实际问题；有利于教学中教师主导地位和学生主体地位的落实，可以有效促进深度学习.

三、高中数学作业设计促进深度学习的基本原则和策略

1. 数学作业设计的主体普适性原则

高中生的生理和心理发展都趋于成熟和稳定，在设计高中数学作业时，要遵循高中生的身心发展特点. 所谓主体普适性原则，是指教师设计的作业要有利于引发学生主动学习的意愿、与学生的学习能力相匹配，使学生愿学、能学. 深度学习发生的关键因素在于学生在学习过程中充分发挥主体性，数学作业的设计应该尽可能满足这种条件，同时应该立足《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，充分考虑学生的已有认知和实际学情，在设计作业时做到适度、适宜. 从作业的数量来看，过多的作业会加重学生的内在认知负荷，学生难以完成，且易使学生产生消极心理，导致学生不愿学；从作业的难度设置来看，难度过高的作业容易让学生产生挫败感，导致学生不能学. 因此，教师在进行高中数学作业设计时，应该考虑有利于激发学生学习意向和已有知识经验的因素，遵循主体普适性原则.

案例3：人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册“一元二次方程根的分布”作业实例.

作业：关于[x]的方程[x2+2m-1x+4-2m=0，] 求满足下列条件的[m]的取值范围.

（1）函数[fx=x2+2m-1x+4-2m]的图象与[x]轴有两个交点，一个大于1，一个小于1.

（2）方程[x2+2m-1x+4-2m=0]有两个实数根[a，b，] 且满足[0

（3）方程[x2+2m-1x+4-2m=0]有一个正根和一个负根.

（4）方程[x2+2m-1x+4-2m=0]至少有一个正根.

（5）函数[fx=x2+2m-1x+4-2m]的图象与[x]轴的交点至少有一个在原点的右侧.

你认为上面的作业还可以如何优化、整合？你还能设计出什么问题？试解答你设计的新问题.

【设计意图】考虑学生的主体适切性，要对作业的设计进行优化，优化的关注点应该落在数量和难度方面，要减少无效的数量叠加，并使每道小题所涉及的难点有所不同，引導学生在完成作业的同时质疑、优化、设问并解答，拓展学生的批判性思维.

教师可以适当引导学生以批判的眼光审视作业，让学生参与设计作业. 当学生成为作业的设计者时，便会考虑自身已有知识经验的关联性、明确自己已经掌握的知识和需要进一步强化的知识，这是作业设计遵循主体普适性原则的具体体现.

2. 数学作业设计的功能承载性原则

深度学习以促进学生的成长和发展为价值追求，全面育人作业包括教学、教育、发展、育人等功能，符合深度学习的特征. 所谓功能承载性原则，是指教师设计的学习材料应该承载教学内容本身的育人价值. 深度学习育人价值实现的关键在于教师要充分挖掘教学内容所蕴含的功能价值. 现实教学中，作业承载了一些特定的功能内涵，根据目标需要，可以分课前、课中、课后三个阶段进行设计. 课前作业设计要解决“到哪里去”的问题；课中作业设计要解决“去了干什么”的问题；课后作业设计要回答“怎样实现目标”的问题. 具体可分为书面作业、阅读作业和实践作业等多种形式. 通过书面作业，巩固学生的“四基”；通过阅读作业，拓展学生的视野；通过实践作业，引导学生体会数学的应用价值. 教师要突破作业设计形式的单一性，保证作业的多样性、开放性和原创性，更加关注德智体美劳“五育并举”，力求弥补习题型作业在育人上的不足，呈现多功能育人的特点.

案例4：“归纳推理”作业实例.

作业1：观察并统计图2中凸多面体的面数[F]、顶点数[V]和棱数[E]，并填写在表1中.

[三棱锥][四棱锥][三棱柱][四棱柱][（a）][（d）][（c）][（b）][图2]

[表1 凸多面体的面数F、顶点数[V]和棱数[E]][凸多面体面数F 顶点数V 棱数E 三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱 ]

试分析上述凸多面体的面数[F]、顶点数[V]和棱数[E]之间的关系，并尝试推出欧拉公式.

作业2：在古印度的一座圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针（分别记为[A]针、[B]针、[C]针）. 印度教的主神梵天在创造世界时，在其中一根针上从下到上穿好了由大到小的[64]块金片，这就是所谓的汉诺塔.

不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：（1）每次只能移动一块金片；（2）可以借助[B]针的辅助作用，不能移动其他处；（3）移动过程中，小金片必须在大金片上面. 僧侣们预言，当所有的金片都从[A]针移到[C]针时，世界末日就到了. 为什么僧侣们会这样说呢？当金片数分别为1，2，3，4时，将金片全部从[A]针移到[C]针，最少要移动多少次？

根据金片数分别为1，2，3，4时得到的将金片全部从[A]针移到[C]针的金片数和最少移动次数之间的关系，补充完整表2.

[表2 金片数与最少移动次数之间的关系][金片数 5 6 … [n] 最少移动次数 ]

【设计意图】学习数学知识、了解数学文化、欣赏一些伟大猜想产生的过程，把数学文化、书面作业、阅读作业、实践作业融为一体. 这样的作业设计还原了数学的本质，能够提高学生的数学应用意识、开拓学生的数学思维，促使学生认识数学的科学价值.

数学教学与育人是相伴相随的. 上述作业设计从具体的数学概念、数学方法、数学思维中揭示了数学的文化底蕴，让学生感受到了数学和谐、统一的美，形成了探究精神和创新意识，掌握了深度学习要求的知识，以及蕴含在知识中的思想方法、情感态度和价值观等，从而获得发展.

3. 数学作业设计要注重反馈评价为先策略

深度学习要求团队协作和有效沟通，作业评价主体为促进深度学习选择适当的反馈作业方式对学生的学习状况进行判断，为后续教师改进教学提供依据. 笔者结合本班实际情况进行批改作业方式的尝试，详见表3.

[批阅方式批阅人内容呈现优势自己批改学生对照答案自查、自评、自纠培养纠错能力相互批改同桌之间两人交流，互查、互讲养成对别人负责的态度，提高团结协作能力组内批改小组全员 6人为一组，交流思维过程，发表见解，共同确定答案，教师巡视、展示优秀及典型作业团队协作、有效交流、共同提高重点面改教师依据学情和作业情况，单独找有问题的学生面改因错施教，更具有针对性全批全改教师对全班作业建立批改记录表，教师集体讲解有利于全面了解学生的作业情况 ][表3 批改作业方式]

上述作业评价方式，不仅可以提高学生的参与感，还有利于提高学生的团队协作能力和有效沟通能力，能够进一步引导学生自我反思，从而提高学习成效.

4. 数学作业设计明确立足质量为本策略

作业评价不单指对作业批改、讲评的过程，更要关注深度学习的核心知识和数学核心素养的达成. 在设计作业时，需要依据学业质量标准和课程内容. 数学学业质量标准是以数学核心素养及其表现水平为主要维度，结合数学课程内容，判断学生是否达到学业质量要求. 在表示学业测试的知识与课程标准吻合程度的问题上，美国学者诺曼·韦伯（Norman Weber）提出了一致性分析模式. 韦伯一致性分析模式包括四个维度：知识种类、知识深度、知识广度与知识分布平衡度. 其中，知识深度水平定义为三个等级，具体见表4.

[水平1 回忆. 要求学生能回忆起具体的公式、定义、基本事实这些简单概念水平2 技能. 要求学生能够处理一般的问题，具有一定的推理能力水平3 拓展. 要求学生能够完成复杂的推理，能够提出问题并解决问题 ][表4 韦伯一致性分析下的知识深度水平划分]

结合韦伯一致性分析下的知识深度水平划分，文献［4］中深度学习的六个维度，以及文献［9］对六个数学关键能力的三级水平划分，为作业设计与深度学习提供了简便易行的双向细目表，具体见表5.

教师在进行数学作业设计时，可以依据作业设计和深度学习的双向细目表，提前对作业进行整体规划，明确作业设计的目标与要求，根据深度学习的特征适时调整侧重点，选择最适合的作业助力学生的全面发展.

参考文献：

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