基于改进平滑L0范数的ISAR成像算法

吴悠 王艳红 冯俊杰

摘要：在雷达成像场景中，由于目标散射点具有稀疏性，针对低采样条件下逆合成孔径雷达（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）高分辨率成像问题，文章提出一种基于改进平滑L0（Smoothed L0 norm，SL0）范数的高分辨率ISAR成像算法。首先采用负指数函数作为平滑函数，通过调整控制参数，使得负指数函数趋近于L0范数;通过循环迭代与梯度投影方法，求出最优解。仿真结果证明，本文算法较传统算法具有一定优势。

关键词：逆合成孔径雷达;压缩感知;稀疏信号;成像

中图分类号：TP391      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）21-0036-03

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近年来，因具有全天时、全天候、远距离成像特性，逆合成孔径雷达（ISAR）成像技术在军用、民用等领域起到了重要作用，有良好的发展前景[1-2]。ISAR通过发射宽带信号，通过脉冲压缩技术可以在距离方向上分离目标上的散射点。

由于目标相对于雷达的横向运动，不同横向位置的散射体具有不同的相对多普勒频率，通过频谱分析，可以实现散射点的分离。距离向和方位向分辨率分别随着带宽和相干处理（CPI）的增加而提高。但在使用距离多普勒算法时，横向分辨率不能随CPI的增加而任意提高。另外，如果旋转角度过大，目标的雷达散射截面（RCS）会是时变的，这增加了相干处理的难度。因此，在短时间内实现成像是有意义的。

压缩感知（Compressive Sensing，CS）理论是信号处理领域的一种新理论，近年来引起了越来越多的关注。该理论表明，在某些稀疏字典中稀疏或可压缩的特定信号可以通过比奈奎斯特采样理论所需要的少得多的测量来精确重构出原始信号[3-4]，基于最优化理论从较少的观测值中精确重构出原始稀疏信号。该理论成为研究的热点。对于雷达成像，目标相对于成像背景显示出高稀疏性，即目标在雷达成像场景中稀疏分布。受压缩感知理论的启发，CS理论在雷达成像领域开展了深入研究，因此稀疏信号恢复算法可以应用于雷达成像，如SAR成像[5-6]，ISAR成像[7-8]，MIMO雷达成像[9-10]。CS理论对数据丢失不敏感，可以有效改善雷达成像系统在数据丢失情况下的成像问题，提高雷达成像系统的信号处理能力。

稀疏信号重构是压缩感知理论中的一个关键步骤，常见的稀疏信号重构算法有基于L0范数的重构算法、基于L1范数的重构算法、贪婪算法等。虽然基于L0范数的重构算法在无噪声情况下的具有较好的重构效果，但该类算法对噪声敏感，需要进行组合搜索，因此难以实现。基于L1范数的算法计算复杂，限制了其实际应用。因此涌现出了有许多更简单的算法，如正交匹配追踪（OMP）等贪婪算法，通过迭代的方式，每次选用和稀疏信号高度匹配的原子作为信号的支撑集，更新残差。

Mohimani等人利用最速下降法和梯度投影原理，提出了带有控制参数的高斯函数序列作为平滑函数来逼近稀疏信号的最小L0范数，从而将求解最小L0范数的问题转化为平滑函数的最优值问题，该方法成为的平滑L0范数（SL0）稀疏信号重构算法[11]。采用双层循环优化求解，外循环建立从大到小的序列[σ1，σ2，…，σJ]，内层采用最速下降法获得近似解。

为实现低脉冲条件下高分辨率ISAR成像，本文提出一种改进平滑L0范数（SL0）稀疏信号重构算法，将ISAR成像问题转化为求解平滑函数最优值问题。采用负指数函数作为平滑函数，通过控制参数[σ]，使平滑函数趋近于L0范数，使用梯度投影方法求解最优值，实现高分辨ISAR成像。

1 ISAR成像信号模型

假设目标位于远场，发射信号为线性调频信号：

[yt=expj2πf0t+12μ0t2]                 （1）

其中[f0]为中心频率。经过距离压缩后，信号可以表示为：

[yt=αexp-j2πf0τtsinct-τt]       （2）

其中[τt]为时延，[α]为信号幅值。假设目标散射点瞬时位置可以表示为：

[x0cosωt-y0sinωt，x0sinωt+y0cosωt]。时延主要由[x0sinωt+y0cosωt]项决定。通过泰勒表达式并省略高阶项，[x0sinωt+y0cosωt]可以表示为：

[x0sinωt+y0cosωt≈y0+x0ωt]               （3）

此时时延[τt]可以表示为[τt≈τ0+2y0+x0ωtc]，则距离单元信号可以表示为：

[yt=αe--j4πx0ωtλ]                         （4）

经离散化后，则信号可以表示为：

[yn=αan]                        （5）

其中[an=ej2πfdn]，[fd=-2x0ωdtλ]，[dt]表示采用間隔。当存在多个散射体时，来自一个测距单元的总接收信号可以表示为：

[y=Ax+n]                            （6）

其中[x]表示散射系数[α]组成的向量，[A]为稀疏矩阵。ISAR成像问题可以通过下列优化问题求解：

[min x0s ? ty-Ax2<ε]            （7）

2 改进SL0范数ISAR成像算法

平滑L0范数的主要思想是首先构建逐渐减小的序列[σ]，对于每一个[σ]，通过最速下降法求解平滑函数的最优值。该算法包括两个循环。在外循环中，参数的值由大到小变化。在内环中，使用迭代最速下降算法来搜索最优值。Mohimani等采用高斯函数[Fσx=iexp-x2i2σ2] 作为平滑函数求解L0范数。为进一步改进重构效果，本文采用负指数函数[Gσx=iexp-xiσ]作为平滑函数趋近于L0范数。两种函数的区别在于，当参数[σ]从无穷大变为零时，[Fσx]由L2范数趋近于L0范数，[Gσx]由L1范数趋近于L0范数，较[Fσx]具有较高的重构概率。本文所提出算法称为改进的平滑L0范数（ISL0）算法。ISL0整个算法步骤如下：

1.初始化： 1） 初始值[x0=AHAAH-1y];

2） 选用一逐渐递减的[σ]参数序列[σ1 σ2…σJ];

2.迭代求解：[for j=1 ，… ，J ]

1） 令 [σ=σj]，

2） 在可行集[x=x ：Ax-y2<ε]上，求解[Fσx]的最小值;

令： [x=xj-1]

[for j=1 ，… ，L ]

a） 求解[Fσx]的梯度[σ]

b） [x←x-xx ×min x ，μσδ ]

c） 如果[Ax-y2>ε]，將[x]投影到可行集上

[x=x-AHAAH-1Ax-y]

d） [xj=x].

3.最后得出最优解：[x=xJ]

最速下降法的一个重要因素是步长的设计，对于较大的步长，函数可能不收敛，但对于非常小的步长，计算效率较低。[minx，μσjδ]确保搜索步长不会过大。

3 仿真实验

仿真1：在仿真1中，比较ISL0方法与传统的OMP、SL0和拉普拉斯稀疏信号重构算法对一维稀疏信号的重构效果。信号模型为[y=Ψx+n]，[Ψ]是一个随机矩阵，服从高斯分布。稀疏信号的非零元素由[±1]组成。稀疏信号长度为256。

改变稀疏信号的稀疏性，几种算法的重建概率和均方误差（MSE）变化曲线如图1、图2所示。随着信号稀疏度的增加，几种算法的重构概率逐渐降低，而ISL0恢复算法具有较高的重构概率和较低的均方误差。

仿真2：对Yak-42飞机的实测数据进行分析。相关雷达参数如下：载频[10GHz]，信号带宽[400MHz]，对于距离分辨率为[0.375m]。分别采用32、64脉冲进行成像，对比FFT、OMP、SL0和本文算法的成像结果。如图3、图4所示。可以看出，本值得注意的是，脉冲量越大，成像效果越好。当脉冲数为64时，四种稀疏信号重建算法的效果较好。当脉冲数为32时，FFT算法、OMP算法成像结果具有较多的虚假散射点，SL0算法成像结果部分散射点的信息丢失。ISL0算法成像结果无虚假的散射点，能对图像中飞机保持着较好的轮廓，得到目标轮廓更清晰，可以实现高分辨率ISAR成像。

4 结束语

本文提出一种基于改进平滑L0范数的稀疏信号重构ISAR成像算法，采用负指数函数作为平滑函数，通过构建递减的参数序列，使得平滑函数趋近于L0范数，将ISAR成像问题转化为L0范数的优化问题，实现高分辨率ISAR成像。

参考文献：

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[2] 李军，邢孟道，张磊，等.一种高分辨的稀疏孔径ISAR成像方法[J].西安电子科技大学学报，2010，37（3）：441-446，453.

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【通联编辑：梁书】