“课程思政+线上线下混合式教学模式”下初等数论教学改革初探

石艳 韦师 王春勇

[摘           要]  基于初等数论课程的教学实践，结合现有文献和相关文件，首先，设计了“课程思政+线上线下混合式教学模式”下初等数论课程教学实施流程图，并对流程图进行说明;其次，以同余的概念及其基本性质为例分析如何在初等数论课程中开展“课程思政+线上线下混合式教学模式”教学;最后，对全文进行总结。

[关    键   词]  课程思政;线上线下混合式教学;初等数论;同余

[中图分类号]  G642                   [文献标志码]  A                   [文章编号]  2096-0603（2022）35-0038-04

一、背景分析

2020年5月，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》（以下简称《纲要》），明确提出：全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措，是全面提高人才培养质量的重要任务;专业课程是课程思政建设的基本载体，要深入梳理专业课教学内容，结合不同课程特点、思维方法和价值理念，深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。针对理学类专业课程，《纲要》指出要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感[1]。线上线下混合式教学模式是指在传统教学模式的基础上，融合互联网而产生的教学模式，适应时代发展和人才培养的需要，弥补了单纯线上教学或单纯线下教学的不足，线上线下混合式教学模式是目前各个高校进行教学的重要手段[2]。初等数论是高校数学与应用数学专业的一门必修课，是中小学数学教师必须掌握的内容，是数学思维能力培养的重要载体，其具有丰富的历史资料和科学家故事，在计算机科学、密码学、信息安全、组合数学、代数编码等领域均有广泛的应用。在初等数论课程开展“课程思政+线上线下混合式教学模式”，其可行性为：初等数论课程历史悠久，有丰富的历史资料和科学家故事，在课前向学生介绍相关知识点的历史背景和科学家故事，有助于提高学生的学习兴趣，增强学生的文化自信;必要性为：初等数论其章节之间连贯性不强，大部分知识点对于学生来说比较陌生，因此有必要在课前通过线上视频、PPT等资料让学生先熟悉相关知识的历史背景、应用、难点问题剖析，让学生对整节课有整体把握，更加充满自信、带着疑惑上课，提高课堂学习的效率。

随着课程思政相关文件的相继出台，一些学者探讨了课程思政背景下初等数论的教学设计等问题。如张四保[3]基于HPM视角探讨了初等数论的教学设计问题;赵宇等[4]从课程元素的挖掘和思政教育的实施两方面阐述如何在初等数论专业课教学中开展课程思政教育;王丽和金晶[5]以初等数论课程教学为例，从课程思政的教学切入点出发，结合教学实践，对专业课程的教学改革进行了探讨;蒋红梅[6]从融入思政教育的内容、层次及方式三个方面研究初等数论课程教学中融入课程思政的教学路径。

近几年线上教学全面推广，高校教师寻找各种线上资源以满足停课不停学的要求。但是，经过一段时间的线上教学实践后发现线上教学模式的弊端逐渐显露，特别是对于数学类课程，单纯的线上教学会导致学生对知识点的掌握不够熟练、计算能力出现下降等。为了提高课堂效率，“线上线下混合式教学模式”逐渐在高校推广，一些学者也基于该教学模式的实践撰写了相关的教学改革论文。如张智丰等[7]研究了线上线下混合式教学模式在数值分析课程中实施的具体步骤;吴万青和杜瑞忠[8]基于MyCOS网络教学平台，探讨了线上线下混合式教学法的效果评价问题;卫莉莉和李琳[9]探讨了线上线下混合式教学法在离散数学课程中的应用实践;罗辉等[10]以惠州学院为例探讨了基于OBE理念的高等数学课程线上线下混合式教学模式的设计问题。

本文基于初等数论课程的教学实践，结合现有文献和相关文件，设计了“课程思政+线上线下混合式教学模式”下初等数论课程教学实施框架，以同余的概念及其基本性质为例分析如何在初等数论课程中开展“课程思政+线上线下混合式教学模式”教学。

二、“课程思政+线上线下混合式教学模式”下初等数论课程教学实施基本框架

根据初等数论课程的特点，设计“课程思政+线上线下混合式教学模式”下初等数论课程教学实施基本框架图（文末图1），作为每章内容教学的基本框架和总体思路。基本框架包括三部分：学生进行课前线上预习、课中线下讲授和课后线上线下评价、答疑。三部分具体内容如下：

课前线上预习部分：教師通过网络教学平台如超星学习通等平台发布相关预习资料。初等数论相对其他课程来说比较难理解，定理、引理等较多，内容章节之间较独立，学生相关内容之前接触得比较少，学习的积极性和主动性不高。课前线上预习部分能很好地解决这些问题，通过PPT等形式让学生清楚章节的学习目标;通过短视频让学生了解相关章节的历史背景、科学家故事等，提高学生学习的积极性，实现立德树人的思政目标;通过对核心概念的解析、难点问题的剖析，减轻学生的学习负担;最后通过问题单的解答方式检验学生预习的学习成效。

课中线下讲授部分：首先，以小组的形式让学生进行课前预习的展示，提高预习的效果，通过学生预习反馈，更有针对性地进行教学;其次，教师对知识点进行讲授，理顺相关的内容，实现知识、思政等目标;再次，通过对典型任务的探讨与成果展示，使学生理解章节的重难点内容，培养学生自主学习、合作交流的能力;最后，进行答疑解惑，增强学生学习的自信心。

课后线上线下评价、答疑部分：首先，通过布置分层作业、发布问卷调查、让学生进行他评与自评等多种评价方式，了解学生对该章节内容的掌握程度，方便教师根据学生的学习效果及时调整上课方式等不足之处;其次，通过QQ、微信、网络教学平台等对学生的疑惑进行解答，进一步增强学生的学习自信心，提高学生对该门课程的学习兴趣。

三、“课程思政+线上线下混合式教学模式”下同余的概念及其基本性质教学设计分析

同余的概念及其基本性质是闵嗣鹤和严士健编写的《初等数论》教材第三章“同余”第1节的内容。

（一）课前线上预习部分

1.短视频展示同余的历史发展背景、科学家故事，融入课程思政元素

因为本节是第三章“同余”的第一节内容，因此有必要通过视频展示同余相关的历史背景，通过PPT展示本章的学习目标。

（1）同余相关理论发展的历史背景

同余概念的引入简化了数论中的许多问题，同余理论是初等数论的核心内容之一，其中蕴含着大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现是数论成为一个独立的数学分支的标志。同余概念的引入使得无限的整数被划分为有限类，在一定意义下，一个特殊类中所有的数本质上是一样的，因为它们在被模除时有同样的余数。中国剩余定理、费马小定理、二次互反律构成了同余理论的基本框架。费马小定理是初等数论的基本定理，在定理的证明中有着核心地位;二次互反律反映了二次剩余特征的奇妙性质，对它的研究引发出许多重要成果;同余关系满足反身性、对称性、传递性，是第一个在今天的代数中无处不在的等价关系的例子。

中国剩余定理：《孙子算经》有记载“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”后被西方人称为“中国剩余定理”。中国剩余定理产生于公元13世纪，比西方早500多年，除了可以用来解一次同余式组，还在许多领域都有应用，如历法编算、计算机设计、环论等方面。

费马小定理：费马小定理是费马于1640年提出的，略有遗憾的是费马并没给出此定理的证明;欧拉于1736年首次证明了费马小定理。

（2）科学家故事

费马：法国数学家，其在数论、解析几何、概率论等多个方面都有突出贡献。费马对数论尤其感兴趣，证明或提出了很多命题，提出了费马大定理、费马小定理，对数论的发展起到奠基作用。

欧拉：瑞士著名数学家，于1736年首次证明了费马小定理，并于1760年证明了更具一般性的欧拉定理。欧拉定理是同余的一个性质，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理蕴含着丰富的数学思想方法，在经济学、密码学等方面有着重要的应用。欧拉毕生从事数学研究工作，撰写了几何、分析、变分法等方面的数学经典书籍，他晚年不幸双目失明，在失明后的17年时间里，以口述的方式继续从事数学研究。

课程思政切入点1：培養学生的学科素养。通过视频讲述同余理论的作用和发展，不断培养学生的学科素养，指出初等数论课程在数学专业课程中的地位和作用。

课程思政切入点2：增强文化自信。通过引入《孙子算经》内容，让学生感受中国数学家的创新和钻研精神，进一步指出中国剩余定理产生于公元13世纪，比西方早500多年，增强学生的文化自信。

课程思政切入点3：感受数学家锲而不舍的钻研精神和创新意识。通过引入与章节内容相关的数学家故事，让学生感受数学家锲而不舍的钻研精神，进一步培养学生的创新意识。

2.PPT展示章节教学目标、内容

课程思政切入点：通过对章节教学目标的了解及预习本节的内容，培养学生自主学习的习惯。

3.核心概念剖析

同余的概念：给定一个正整数m，把它叫作模。如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a≡b（modm）。如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作a[≡] b（modm）。

同余的概念剖析：（1）同余概念中涉及的a，b和m都要求是整数，其他则不成立。（2）同余的概念以第一章第1节定理4（带余除法）为基础，同余表示两个整数a，b同除以m所得到的余数一样，称为a，b对模m同余。（3）同余与相等不同。表示的意思与记法均不同，同余中涉及的三个整数，其中一个发生变化都有可能导致它们之间的同余关系发生变化。

课程思政切入点：透过现象看本质，细心观察，总结归纳。通过对核心概念的剖析，培养学生透过现象看本质的思维，同时培养学生善于细心观察，提高总结归纳的能力。

4.难点剖析

定理1 整数a，b对模m同余的充分必要条件是m|（a-b），即a=b+mt，t是整数。

证明：必要性：根据带余除法分别求出整数a，b除以模m的余数，即a=mq1+r1，b=mq2+r2，0≤r1≤m，0≤r2≤m。

因为整数a，b对模m同余，所以有r1=r2，因此a-b=m（q1-q2），即m|（a-b），a=b+mt成立。定理的必要性

获证。

充分性：若m|（a-b），则m|[m（q1-q2）+（r1-r2）]。因此，m|（r1-r2），由于r1-r2

课程思政切入点：严谨的逻辑思维和联想思维。通过对定理的证明，培养学生严谨的逻辑思维。由同余的概念联想到带余除法，培养学生的联想思维。

5.设计问题单

由于上课伊始已经将全班学生分为10个学习小组，因此问题单一般由小组讨论后上课进行展示。

问题单：（1）小组讨论并证明性质丁—性质癸，其中第1小组讨论并证明性质丁;第2小组讨论并证明性质戊;第3小组讨论并证明性质己;第4小组讨论并证明性质庚;第5小组讨论并证明性质辛;第6小组讨论并证明性质壬;第7小组讨论并证明性质癸。第8、9、10小组做补充说明。

（2）感兴趣的同学思考并回答：9月1日是星期四，请问9月30日是星期几？

课程思政切入点：培养学生的自主学习能力、协作能力和应用能力。学生通过课后小组讨论，培养他们自主学习的能力和团队协作的能力。通过对生活问题的思考与回答，培养学生学以致用的意识，提高学生的学习兴趣。

（二）课中线下讲授部分

环节1：播放视频，教师线下再次讲解视频内容，加深学生对同余的历史发展背景、科学家故事的印象。进一步巩固课程思政理念，达到立德树人的目标。

课程思政切入点：通过线下播放视频，教师口头陈述与补充，进一步培养学生的学科素养，增强他们的文化自信，体会数学家锲而不舍的钻研精神和创新意识。

环节2：线下讲解同余的概念，强调注意事项，即同余概念剖析中的三点，并给出概念辨析。

练习题：判断正误。

（1）9与16同余。（  ）

（2）9与16对模7同余。（  ）

（3）101与80对模7同余。（  ）

（4）101与80对模5同余。（  ）

课程思政切入点：培养学生辩证唯物主义观。进一步对概念进行解释与辨析，使学生能深刻理解核心概念的真正内涵，培养学生的辩证唯物主义观。

环节3：线下再现重难点剖析，即定理1。定理1讲解后教师进一步指出：同余概念的三个等價式子：a≡b（modm）?m|（a-b）?a=b+mt。三个等价式子是下面性质证明的重要工具。

课程思政切入点：等价转化的思想。通过对同余概念的三条等价转化公式的讲解，培养学生等价转化的意识。

环节4：12条性质的探讨，采取小组上台演示、线下讨论，教师评价、补充和延伸知识点形式。

课程思政切入点：增强学生学习初等数论课程的自信心，突出以学生为主体、教师为主导的课堂。

（三）课后线上线下评价、答疑部分

1.教师在平台上发布问卷调查，调查学生对本节课的掌握程度，一般设计10个问题。

①你喜欢这节课的授课方式吗？②线上线下混合式教学方法是否能提高你对知识点的理解？③你理解同余的概念吗？④你是否理解定理1并能应用其对性质进行证明？⑤你会证明性质丁—性质癸中的几个性质？⑥你对哪个性质印象最深刻？⑦你认为你自己对这节课的掌握程度有多少？⑧你认为你的组员对这节课的掌握程度有多少？⑨通过这节课，你对学习数学题是否更加自信？⑩教师是否能营造积极的课堂氛围？

设计说明：①②主要为了解学生是否能适应这样的授课模式;③④⑤⑥⑦主要了解学生自身对知识点的掌握情况;⑧组员之间进行评价，即从他评的角度了解学生对该知识点的掌握程度;⑨主要了解课程思政教育的效果;⑩从学生的角度对教师授课进行评价。

2.布置课后作业。

3.线上线下答疑。

四、总结

通过采用“课程思政+线上线下混合式教学模式”进行授课，极大地提高了学生学习初等数论课程的积极性，通过课前线上预习，学生了解了该章节的教学目标、相关知识点的历史背景、科学家故事，核心概念的剖析、重难点的分析，并做相应的问题单等，使学生对课堂学习更加充满自信和兴趣，全身心投入课堂学习中，极大地提高了课堂的效率。通过线下学生小组展示和激烈探讨，教师补充讲解，达到了以学生为主体、教师为主导的教育理念。最后通过问卷、作业和课后答疑等方式了解学生对本节课的掌握程度。课程思政贯穿课前、课中、课后全过程，真正落实了立德树人的根本任务。

参考文献：

[1]教育部.高等学校课程思政建设指导纲要[Z].2020-06-01.

[2]丁桂艳，刘昊，屠良平，等.以学生成长为中心的概率论与数理统计的线上线下混合式教学[J].科技视界，2022（3）：82-83.

[3]张四保.基于HPM视角下的初等数论课例教学设计[J].喀什大学学报，2019，40（3）：84-86.

[4]赵宇，黄金莹，刘春妍，等.关于《初等数论》课程思政的几点思考[J].绥化学院学报.2020，40（11）：132-133.

[5]王丽，金晶.基于课程思政的专业课教学改革探讨：以“初等数论”课程为例[J].科教导刊，2021（3）：55-56，171.

[6]蒋红梅.初等数论融入课程思政的教学路径研究[J].产业与科技论坛，2022，21（4）：165-168.

[7]张智丰，邓重阳，李亚娟.数值分析课程混合式教学模式的研究与实践[J].教育现代化，2018，5（37）： 151-152.

[8]吴万青，杜瑞忠.基于网络平台的混合式教学法在密码学教学中的效果评价[J].网络与信息安全学报， 2019，5（3）：96-101.

[9]卫莉莉，李琳.离散数学课程的混合式教学模式探索[J].当代教育实践与教学研究，2019（22）：14-15.

[10]罗辉，张驰，杨水平，等.《高等数学》线上、线下混合式教学模式的探索与实践研究：以惠州学院为例[J].惠州学院学报，2020，40（6）：121-125.