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用两点间的距离公式解题的研究

2022-05-30王艳

中学教学参考·理科版 2022年5期
关键词:解题研究

王艳

[摘 要]两点间的距离公式是重要的数学解题工具,特别是当两点所在直线平行[y]轴时,该公式会变得更简洁,运用该公式能解决很多数学题目。

[关键词]两点间的距离公式;解题;研究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2022)14-0010-03

在考题中,经常遇到平行[y]轴的直线上的两点之间的距离计算问题,利用两点间的距离公式可计算线段的最值、图形面积的最值、点的坐标等。下面就结合一道考题谈谈两点间的距离公式的具体运用。

一、题目呈现

2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的極大热情。如图1是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为[x]轴,过跳台终点[A]作水平线的垂线为[y]轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线[C1]:[y=-112x2+76x+1]近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点[O]正上方4米处的[A]点滑出,滑出后沿一段抛物线[C2]:[y=-18x2+bx+c]运动。

(1)当运动员运动到离[A]处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线[C2]的函数解析式(不要求写出自变量[x]的取值范围);

(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米?

(3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求[b]的取值范围。

二、题目分析

考题以2022年北京冬奥会为问题背景,以二次函数为知识基础,以解析式的确定、竖直距离、不等式为问题解决的主渠道,以待定系数法、两点间的距离公式、不等式思想、数形结合思想为主要解题思路,体现“数学源于生活,同时服务生活”,实现学数学、用数学的双向融合。

三、解法探究

(1)∵抛物线[C2]:[y=-18x2+bx+c]过点(0,4)和(4,8),∴[c=4,-18×42+4b+c=8,]解得:[c=4,b=32,]

∴抛物线[C2]的函数解析式为[y=-18x2+32x+4]。

(2)设当运动水平距离是m米时,运动员与小山坡的竖直距离是1米,设竖直直线与[C1]:[y=-112x2+76x+1]交于点[B],与[C2]:[y=-18x2+32x+4]交于点[A],根据题意,得[Am,-18m2+32m+4],[Bm,-112m2+76m+1],∵[AB∥y]轴,∴[AB=yA-yB=-18m2+32m+4--112m2+76m+1=1],整理得[m2-8m-48=0],∴[(m-12)(m+4)=0],解得[m1=12],[m2=-4](舍去)。

∴当运动水平距离是12米时,运动员与小山坡的竖直距离是1米。

(3)∵[C1]:[y=-112x2+76x+1=-112(x-7)2+6112],∴运动员水平运动7米时到达坡顶,此时[y1=6112]。根据题意得[y2=-18×72+7b+4],∵运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米,∴[y2-y1>3],∴[-18×72+7b+4-6112>3],解得[b>3524]。

四、思考

透过考题,我们得到如下启示:

第一,数学学习夯实基础是关键,如这里的待定系数法,是一种基本方法,解方程组是方法的核心。若是基础不牢,连方程组都不能正确解答,后面的问题就难以解决。

第二,抓住问题的关键。解答时,充分利用函数的解析式,用好“横坐标相同”这一特殊条件,表示点的纵坐标,利用竖直距离等于两点纵坐标差的绝对值建立不等式,也体现了转化思想。

第三,用活各种数学思想是解题的灵魂和指南。

五、变式应用

(一)反比例函数中,求三角形面积的最小值

[例1]如图2,直线[y=-x+m]与双曲线[y=-2x]相交于[A],[B]两点,[BC∥x]轴,[AC∥y]轴,则[△ABC]面积的最小值为            。

解:设[A(x1, y1)],[B(x2, y2)],则点[C(x1, y2)],[BC=x2-x1],[AC=y1-y2],∵直线[y=-x+m]与双曲线[y=-2x]相交于[A],[B]两点,[BC∥x]轴,[AC∥y]轴,∴点[C(x1, y2)],[BC=x2-x1],[AC=y1-y2=x2-x1],∴[S△ABC=12AC·BC=12(x2-x1)2=12(x2+x1)2-4x2x1]。根据题意,[x1],[x2]是方程[-2x=-x+m] 的两个根,∴[x1],[x2]是方程[x2-mx-2=0]的两根,∴[x1+x2=m],[x1x2=-2],∴[S△ABC=12m2+4],∴当[m=0]时,[S△ABC]有最小值,且为4,故答案为4。

(二)当线段最长时,求线段和的最小值

[例2]如图3,抛物线[y=-12x2+bx+c]与[x]轴交于[A]、[B]两点,与[y]轴交于点[C],直线[y=-12x+2]过[B]、[C]两点,连接[AC]。

(1)求抛物线的解析式;

(2)求证:[△AOC∽△ACB];

(3)点[M(3, 2)]是抛物线上的一点,点[D]为抛物线上位于直线[BC]上方的一点,过点[D]作[DE⊥x]轴交直线[BC]于点[E],点[P]为抛物线对称轴上一动点,当线段[DE]的长度最大时,求[PD+PM]的最小值。

解:(1)∵直线[y=-12x+2]过[B]、[C]两点,∴[B(4, 0)],[C(0, 2)],根据题意得[-8+4b+c=0,c=2,]解得[b=32,c=2,]∴抛物线的解析式为[y=-12x2+32x+2];

(2)∵二次函数[y=-12x2+32x+2]与[x]轴交于点[A],∴[-12x2+32x+2=0],解得[x1=4],[x2=-1],∴点[A(-1, 0)],∴[AO=1],[AB=4-(-1)=5],

在[Rt△AOC]中,[AO=1],[OC=2],∴[AC=5],∴[AOAC=ACAB=55],又∵[∠OAC=∠CAB],∴[△AOC∽] [△ACB];

(3)设点[D]的坐标为[m,-12m2+32m+2],此时点[E]的坐标为[m,-12m+2],

∴[DE=-12m2+32m+2--12m+2=-12m2+2m],∵[-12<0],∴当[m=2]时,线段[DE]取最大值,∴点[D(2, 3)],∵[C(0, 2)],[M(3, 2)],∴点[C]和点[M]关于对称轴对称,连接[CD]交对称轴于点[P],此时点[P]即为[PD+PM]最小的位置,连接[CM],设与直线[DE]的交为点[F],∴[∠DFC=90°],∴点[F(2, 2)],∴[DF=3-2=1],[CF=2-0=2],∴[CD=CF2+DF2=5],∴[PD+PM]的最小值为[5]。

(三)当三角形的面积最大时,求倍数线段和的最小值

[例3]已知抛物线[C1]:[y=ax2]的图像如图4。[A0, 14],直线[l]:[y=-14],点[B]为抛物线上的任意一点且满足点[B]到点[A]的距离与点[B]到直线[l]的距离始终相等。

(1)直接写出:[a]的值             ;

(2)如图5,若直线[l2]:[y=mx+14m>0]交抛物线于[D]、[E]两点(点[D]在点[E]的右边),交[x]轴于点[F],过点[E]作[EM⊥l]于点[M],过点[D]作[DN⊥l]于[N],点[H]为[MN]的中点,若点[H]到直线[l2]的距离为[7],求[m]的值;

(3)如圖6,将抛物线[C1]向右平移2个单位,向下平移1个单位得到抛物线[C2],[C2]交[x]轴于[A]、[B]两点,交[y]轴于点[C],点[P]为直线[BC]下方抛物线上一点,点[Q]为[y]轴上一点,当[△PBC]的面积最大时,求[2PQ+CQ]的最小值。

分析:(1)根据点[B]到点[A]的距离与点[B]到直线[l]的距离始终相等,判定点[B]的坐标为[12,14]或[-12,14],代入解析式求解;(2)构造全等三角形,利用勾股定理和根与系数关系定理计算;(3)在[y]轴左侧作[∠OCR=30°]交[x]轴于点[R],过点[Q]作[QT⊥CR]于点T,则[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT],当[P]、[Q]、[T]三点共线时[PQ+12CQ]取得最小值,求出最小值。

解:(1)如图4所示,∵点[A]到直线[l]的距离为[14--14=12],点[B]到点[A]的距离与点[B]到直线[l]的距离始终相等,∴点[B]的坐标为[12,14]或[-12,14],∴[14=a×122],解得[a=1],故答案为1;

(2)如图7,连接[EH]并延长交[DN]延长线于点[G],连接[AH],[DH],∵[∠EMH=∠GNH=90°],[∠EHM=∠GHN],[MH=NH],∴[△EMH≌△GNH], ∴[EH=GH],[EM=GN],∵[EA=EM],[DA=DN],∴[ED=EA+DA=EM+DN=DG],∴[∠EDH=∠GDH],[DH⊥EG],∴[△ADH≌△NDH(SAS)],∴[∠HAD=∠HND=90°],∴[AH=7],

根据题意得[y=x2,y=mx+14,]∴[x2-mx-14=0],∴[xE+xD=m],[xE?xD=-14];

∵[H]为[MN]的中点,∴[Hm2,-14],∴[m22+122=72],∵[m>0],∴[m=33];

(3)∵抛物线[C1]向右平移2个单位,向下平移1个单位得到抛物线[C2],∴[C2]的解析式为[y=(x-2)2-1],即[y=x2-4x+3],令[y=0],得[(x-2)2-1=0],解得[x1=1],[x2=3],∴[A(1, 0)],[B(3, 0)],令[x=0],得[y=3],∴[C(0, 3)],

设直线[BC]的解析式为[y=kx+3],∴[3k+3=0],即[k=-1],∴直线[BC]的解析式为[y= -x+3],

如图8,连接[PB],[PC],作直线[BC],过点[P]作[PW⊥x]轴,交直线[BC]于点[W],设点[P]的横坐标为[x],则[P(x, x2-4x+3)],[W(x,-x+3)],∴[WP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x],[∴S△PBC=12WP·xB-xC=12(-x2+3x)×3=-32x2+92x=-32x-322+278],

∴当[x=32]时,[S△PBC]最大,此时点[P32,-34],

在[y]轴左侧作[∠COR=30°]交[x]轴于点[R],过点[Q]作[QT⊥CR]于点[T],[QT=12CQ],则[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT],当[P]、[Q]、[T]三点共线时[PQ+12CQ]取得最小值,

设直线[CR]与直线[PW]交于点[S],∵[OC=3],∴[OR=COtan30°=3×33=3],∴[R-3, 0],设直线[CR]的解析式为[y=mx+3],∴[-3m+3=0],即[m=3],∴直线[CR]的解析式为[y=3x+3],∴[S32,332+3],∴[PS=323+3--34=15+634],

∵[CO∥PS],∴[∠S=∠RCO=30°],在[Rt△PTS]中,[PT=12PS=334+158],

∴[PQ+12CQ]的最小值为[334+158],∴[(2PQ+CQ)min=2PT=332+154]。

点评:本题考查了抛物线的解析式、抛物线的最值、抛物线与一元二次方程的关系、三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、全等三角形和垂线段最短。熟练掌握抛物线解析式的确定,三角函数性质,线段和的最值求法是解题的关键。

(责任编辑 黄桂坚)

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