两种几何问题的间接证法

马小琴

从命题的题设出发，根据公理、定义和已知定理，直接论证结论的真实性的证明方法叫做直接证法.证明与原命题等效的某命题为真或证明与原命题矛盾的命题为假，进而判定原命题成立的证明方法叫做间接证法.如果几何命题中有些不易，甚至不能从原命题去直接证明的，这时就要转变思维视角，采用迂回手段去间接证明.间接证法是提高同学们的逻辑思维能力的重要途径，下面举例说明几何问题中两种常见的间接证法：反证法与同一法.

一、反证法

反证法是指为了证明某一命题或结论的正确性，不直接从正面予以求证，而是反其道而行，通过证明它的反面是错误的，由此得出原命题或结论正确.反证法的基本步骤是：一是做出假设，即做出与原命题或结论相反的假设;二是分析求证，即通过推理、分析，求证所做的假设与题设已知条件、数学定理、法则、定义等相矛盾;三是获得结论，即结合所推出的矛盾，得出所提的假设不成立，从而肯定原命题或结论成立.

例1

分析：此题直接由题设条件求证无从入手，不妨逆向思维，考虑结论的反面情况，即点0不在ΔMNP的外部，利用反证法即可证明.

证明：假设点0不在ΔMNP的外部，那么就可能出现如下几种情形：

（1）如图1所示，若点0与点P重合，显然OM+ON=PM+PN，这与已知条件矛盾，所以点0与点P不可能重合.

（2）如图2所示，若点0在边MN上（不包括端点），由OM+ON=MN

（3）如图3所示，若点0在边AC或AB上（不包括端点），则有OM

（4）如图4所示，若点0在ΔMN的内 部，延长MO交PN与点E，则有PM+PE> MO+OE③，OE+EN>ON④，由 ③+④，可知 PM+PE+OE+EN>MO+OE+ON，即PM+ PN>MO+ON，這与已知条件矛盾，所以点0不在ΔMNP的内部.综上所述，点0必在ΔMNP的外部.

评注：反证法的实质是通过证明命题的逆否命题来间接证明原命题，是一种逆向思维的方法.当从正面证明某问题较为棘手时，若能从反面考虑，巧用反证法，往往可以出奇制胜.

二、同一法

同一法是指当一个命题的题设条件和结论都是唯一存在的，要证明命题结论成立，不直接按照常规思路对该结论进行证明，而是另辟蹊径，先画出符合命题结论的图形，然后证明所作的这个图形与原命题所要证明的图形是同一的（即重合），进而使原命题结论得证.运用同一法证题的步骤是：一是判断命题是否符合同一法则，即题设条件和结论是否具有唯一特性;二是作出与命题结论相吻合的图形;三是证明所作的图形符合题设已知条件，得出所作图形与题设图形具有同一性，判定原命题为真.

例2

分析：因为一条线段的中点是唯一的，过一点作一条直线的平行线也是唯一的，所以本题符合同一法则，在证明时则可以借助同一法即可快速得证.

证明：

例3

分析：本题中由于一个角的平分线也是唯一的，一条线段的中点也是唯一的，因此符合同一法则，可以利用同一法予以证明.

证明：

评注：同一法实质上是通过证明命题的逆命题来间接证明原命题.需要注意的是，同一法只有在命题符合同一法则的条件下才能使用，否则会产生错解.