经验需要亲身积累

胡琦

[摘 要]开展数学活动可以提高学生的认知力，有助于学生验证探究的结论正确与否。如果教师不讲究科学方法，不懂得合理设计与实施数学活动，就会导致数学活动华而不实、流于形式。只有科学设计、精准实施数学活动，才能有效引导学生不断积累数学活动经验，提升学生的数学核心素养。

[关键词]小学数学;因数;倍数;数学活动经验

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）18-0008-03

数学活动经验是指学生在参与数学活动时，不断积累起来的对知识结论的感性认知，以及在实践中体验到的学习乐趣，还有在吸收知识后产生的经验认同和应用意识。数学活动经验对于学生探究数学规律，领悟和归纳数学思想方法，形成科学的数学思维方式有重要的作用与意义。基本的数学活动经验是学生在数学学习道路上必须具备的素养，也是学生学好数学必需的学科素质，能为学生的长远发展奠定基础。在小学数学教学中，如何有效引导学生积累数学活动经验，这是一个难题，成为不少教师孜孜以求的目标。

下面，笔者结合苏教版小学数学教材五年级下册《因数与倍数》的教学，谈谈自己的一些看法，以期与同行共同探讨。

一、制造认知冲突，激活已有经验

数学活动经验具有隐蔽性，没有具体的章程和条文，但是它又确实存在，而且会潜移默化地影响个人的行为方式。根据自身已有的知识经验，从实际问题中抽象出数学模型，然后迁移运用所学的数学知识，利用数学模型来分析实际问题，能对解决实际问题起到促进作用。因此，在数学教学中，教师应立足学生的已有经验，创设恰当的问题情境，通过问题激活学生的已有经验，让学生沿着规划的路线不断深入探究，并基于自己的认知能力和思维方式开展有效的学习活动。

例如，教学《因数与倍数》一课时，课始，教师通过技能竞赛活动，引发认知冲突，激发学生的探究兴趣，引导学生在操作探究中感知倍数、因数的概念，为后续学习做好经验和心理上的准备。

1.拼图竞赛

师：我们现在举行拼图竞赛，将小方块拼摆成大长方形。游戏规则如下：一是不许有剩余的小方块;二是用数学算式简略地表示出拼图方案;三是通过平移或旋转，图形变换后能够重合的属于一种拼法，不重復计算;四是哪个小组拼摆出大长方形的数量多，哪个小组就胜出。（教师提供12个和14个两种数量的小方块给学生选择。学生产生两种意见：一种觉得选择数量多的小方块有利，一种觉得选择数量少的小方块比较好）

师：请各个小组按照自己小组商议的结果上台领取小方块，然后在小组内合作探究，尝试拼图并写出算式。（学生分组开始动手操作）

2.展示交流

组1：我们小组选择的是12个小方块，一共拼摆出3种不同的大长方形，用算式表示是1×12、3×4、2×6。

组2：我们小组选择的是14个小方块，一共拼摆出2个不同的大长方形，用算式表示是1×14、2×7。

师：比一比，哪个小组拼摆出的大长方形多？（选12个小方块的小组取胜）这个结果对你有什么启发？

生1：小方块数量多，拼摆出的大长方形不一定多;反之，小方块数量少，却能拼摆出较多的大长方形。

师：这究竟是什么缘故？

生2：对12和14分解质因数后发现，12的因数较多，有6个，而14的因数则相对较少，只有4个，这应该是拼法少的根本原因。

生3：因数少，所以能够拼摆出的大长方形就少。

师：12的因数都有哪些？请列举出一个来。

生4：3，3就是12的其中一个因数。

师：正确。3是12的因数，因为12是3的整倍数，这种关系是相对的。因此，也可以反过来说，12是3的倍数，因数和倍数之间是相互依存的。

师：这就是今天我们要研究的因数、倍数的知识。（板书课题：倍数  因数）

……

二、暴露问题，让经验得以再生

积累数学活动经验需要以具体活动为载体，否则就会成为无源之水、无本之木。由于学生的知识储备、思维方式等方面存在个体差异，所以即使经历相同的学习活动，不同个体获得的经验也是不同的，但是基本的数学活动经验不会变。

数学课堂中，教师应释放足够的探究空间，让学生各抒己见、畅所欲言，尽情地表达自己的所思所想、所感所悟。尤其要充分暴露学生在探究过程中的认知态度、情感倾向及思维习惯等方面的问题，然后教师据此指引学生修正不成熟的经验，帮助学生积累完整、全面、深刻的数学活动经验。

1.认识倍数、因数

师：根据自创的算式，指出算式中的因数和倍数。（学生自由说）非常不错，那12的因数有哪些？

生1：1，2，3，4，6，12。

师：交流一下，你们寻找因数的秘诀。

生2：可以根据乘法口诀，如（ ）×（ ）=12等，一对一对地寻找。

生3：还可以反其道而行之，利用除法算式来探寻因数，即12÷（ ）=（   ）等。

师：12÷5=2.4，这个除法算式是正确的，那能不能据此断言12是5和2.4的倍数？如果不行，请说出理由。

生4：利用小方块拼摆长方形时，每一行可以摆出5个，但照此摆出2.4列却行不通，因为不能将小方块切开。

师：这就意味着，找倍数、因数是有前提的。所谓的因数、倍数，一律默认为非0自然数。

师：那14的因数有哪些？

生5：1，2，7，14。

师：现在让你们重新选择，还是拼摆长方形数量多的小组取胜。为了确保获胜，你打算怎么选择小方块的数量？

生6：谁的因数多，就选谁。

2.找一个数的因数

出示问题：请你找出36的所有因数。

（1）学生独立完成作业

生7：36的因数有1、6、3、12、36，算式是1×36=36、6×6=36、3×12=36、12×3=36。

生8：我寻找到36的因数有1、36、6、6、4、9，用以下的除法算式寻找的：36÷1=36、36÷6=6、36÷4=9、36÷9=4。

师：分析比较以上两位同学查找因数的方法，你有什么发现？

生9：这两位同学的查找方法都有遗漏，而且有重复。

生10：算式3×12=36、12×3=36，其实代表同一对因数，36÷4=9和36÷9=4也是如此，它們可否合二为一？

生11：两个因数6可否合二为一？

师：问题的焦点集中在不重复、不遗漏上，那如何才能做到不重复、不遗漏呢？怎样才能尽可能地缩减寻找过程，最好不写算式呢？

（2）交流展示

①先独自思考，然后小组内讨论

②全班展示交流

生12：查找36的所有因数时，依次去除各个能被整除的整数。

生13：从1开始不断尝试，每个算式可以同时找出两个因数，一举两得。

生14：除到36的一半时，就可以终止尝试。

师：你的言下之意，就是要有序查找。只有有序思考和查找，才能做到不重复、不遗漏。请同学们据此结论，把12、14、36的因数找全。

③学生先独立尝试，然后全班展示汇报

④总结特点

师：观察12、14、36、24、23的因数，发现什么特别的没有？

生15：都有1这个因数，每个数都有它本身这个最大因数。

师生（小结）：任何一个数，至少有1和它本身两个因数，前者最小，后者最大。

3.查找倍数

（1）请尝试找出6、8、5的倍数

（学生先尝试寻找一个数的倍数，然后全班展示汇报）

师：你是如何查找的？观察你查找的倍数，发现什么特点没有？

生16：依次乘以1、2、3……各个自然数，这样查找倍数就不会有遗漏了。

生17：我发现，任何数都有自身这个最小的倍数，最大的倍数不存在，可以无限大。

生18：一个数存在无数个倍数，倍数可以无限大。

（2）试一试（练习反馈略）

……

三、训练反思，凝练整体性经验

“聚沙成塔，集腋成裘”，这是古人在劝学方面的经典话语，也揭示了要注重发展学生的整体性学习经验。因此，数学课堂中，教师要重视引导学生回顾、反思学习过程，实现去粗存精的目标，让有效的经验、可靠的方法、正确的数学思想方法得到较好地保留下来，并与学生自身已有的经验进行融合，从而让经验不断得到拓展、积累，逐渐形成整体性的学习经验，成为学生终身学习的财富。

师：屏幕上的光头强也在做着倍数和因数的练习，有没有兴趣同他比一比、赛一赛？（学生较为兴奋，积极地投入到练习之中）

生1：光头强真笨！20的因数不是很容易找到吗？从1开始找，1乘20等于20，就找到2个因数了;接着，从2继续找下去……所以，20的因数有1、2、4、5、10、20，一共有6个因数。

生2：光头强也找出来了，不过好像有点问题。他说，20是倍数，1、2、4、5、10、20是因数。

生3：这样说是有问题的，因为倍数和因数是相互依存的关系，不能单一地说倍数和因数。应该说，1、2、4、5、10、20都是20的因数，20是1、2、4、5、10、20的倍数。

生4：“20是20的倍数，20是20的因数”，这个说法还真的需要注意，有点儿别扭。

生5：还有个问题。一个自然数的最小倍数是30，那它的最大因数是什么？

生6：一个自然数的最小倍数是30，说明这个自然数是30，那么它的最大因数是它本身，也是30。

生7：看来，不能只凭感觉解决问题。

……

实践表明，要帮助学生积累数学活动经验，就得为他们搭建一个个亲身体验的学习平台，让他们在亲历中思考、在探究中反思、在反思中提炼经验。审视上述教学，从中能够看出，经验需学生亲身经历后积累，这样沉积下来的经验才会融入相关的学习经验中，使经验逐渐丰富起来。当然，教师在教学中还需要引导学生开展互动交流、思考辨析等活动，这样他们积累的经验才会成为深入学习、深入探究的资本。

四、整体反思，形成高层次经验

学生进行数学学习，除了习得知识和技能，还有长期形成的思维模式，这才是积累数学活动经验的要诀。那么，如何才能做到让活动经验促进思维模式形成，使之沉淀为一种本能经验呢？这就需要引导学生对获得的经验进行修正、加工、提炼，让学生的初始经验不断得到成熟、丰盈，形成高层次的拓展性经验。

为此，在本节课上，教师不断引导学生对获得的经验进行修订、提炼。

师：学习这节课后，你们有什么收获？

生1：明确了倍数、因数的概念，学会如何寻找因数、倍数，了解了因数、倍数的特征。

师：这些知识是如何获得的？

生2：我们先尝试探究，发现问题，然后按图索骥，探究倍数和因数的所有知识。

生3：开始查找因数时容易遗漏，后来学会了有序思考，这样才能做到不重复、不遗漏。

生4：我们是在发现问题后，才慢慢探究出这些知识的。

……

上述教学，教师先组织学生通过实践验证发现与预测的结果不同，激发了学生的探究欲望，把倍数、因数与乘除法联系起来进行探究，为后续教学打下了基础;然后让学生探究寻找倍数、因数的方法，通过观察对比，深入探究因数、倍数的特征。在此过程中，学生的原有经验不断得到发展，实现了数学经验的积累。这样教学充分激活了学生的已有经验，并使已有经验不断得到再生。只有这样，学生获得的经验才能逐步得到积累和丰富。

总之，任何知识的学习，都必须以原始经验为依托，然后在进一步的学习中丰富与完善经验，在不断深入探究中发展经验，逐渐沉淀成一种思维模式，形成一种数学观念。因此，在小学数学教学中，教师需要制造认知冲突，激活学生的已有经验，让经验得到再生，再通过反思，帮助学生形成高层次经验，使学生的数学学习朝着理想的目标前行。

（责编 杜 华）