追本溯“源”,回归本质

陈经纬 沈云

[摘  要] 文章通过对一道以椭圆内准圆为背景的压轴题的分析，引出在中学阶段见过而未引起注意和重视的内准圆，并对椭圆和双曲线中的内准圆做了分析，以期通过此例的分析探究引起广大中学一线教师对挖掘试题命制背景的重视，引起教师在解题教学中对培养学生从特殊到一般的推理能力的重视，这也是新课标中逻辑推理能力的要求.

[关键词] 背景;切线;內准圆

圆锥曲线具有很多统一或相似的性质，圆锥曲线题目往往能引申出多个结论，它的延伸、推广，可以呈现出丰富多彩的数学内容，深刻反映了数学独特的魅力，值得我们去寻找、发现和欣赏.在日常解题教学中，我们要有意识加强对圆锥曲线性质的推导与证明，对题目进行适当的发散研究，探索隐藏在题目背后的奥秘，将研究的问题引向深入，挖掘题目真正的内涵，追本溯源，才能准确领会到试题命制的深刻背景，真正做到触类旁通、举一反三. 本文以一道椭圆压轴题为例，探究试题的命制背景.

（2020年佛山二模）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，且过点（2，1）.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过坐标原点的直线与椭圆相交于M，N两点，过点M作圆x2+y2=2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明PM=PN.

答案：（1）+=1;（2）圆x2+y2=2为椭圆的内准圆，证明略.

[?]启示

圆锥曲线具有很多统一或相似的性质，圆锥曲线题往往能引申出多个结论，延伸和推广的目的不仅是展示结论给学生，而且要在教学中培养学生逻辑推理能力和运算求解能力，要求学生掌握从特殊到一般的推理，学会推理的基本形式和规则，教会学生发现问题和提出问题，能进行合理的探索和论证，在论证过程中进一步发展数学运算能力，通过运算促进学生数学思维的发展，形成规范化思考问题的品质. 数学解题教学的核心思想就是引导学生把困难的、不熟悉的问题转化成容易的、熟悉的问题进行解决.所谓学生熟悉的问题，除了熟悉解题的方法和策略外，重要的一环就是熟悉试题命制的背景. 由于高考试题都是原创题，学生若不熟悉相关背景，特别是难题，会有一种莫名的“距离感”，解题时需要不断地尝试才能得到结果，时间成本高. 因此，在平时教学中，教师要有意识地培养学生独立自主探究圆锥曲线性质及结论的能力，挖掘题目真正的内涵，追本溯源，准确领会到试题命制的深刻背景，掌握解题的制高点，从而让学生通过少量题目的训练就能掌握解决一类问题的策略和方法，远离题海，回归本质.