构建几何模型 秒杀中点问题

蔡忠平

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由中点可以联想等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线等知识. 李英豪老师在《中点用法》直播课中，构建了与中点相关的几何模型，能够帮助同学们根据不同条件作出恰当的辅助线，从而解决与中点相关的几何问题.

模型构建

模型一：中点 + 等腰，如图1，考虑等腰三角形“三线合一”的性质;

模型二：中点 + 直角，如图2，联想直角三角形斜边上的中线的性质;

模型三：中点 + 中点，如图3，联想三角形的中位线的性质;

模型四：中点 + 平行，如图4，构造全等三角形;

模型五：中点 + 垂直，如图5，联想垂直平分线的性质.

模型应用

例1 如图6，在△ABC中，AB = AC，点D在边AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF = EF. 求证：BD = CE.

解析：由DF = EF，联想“中点 + 平行”模型.

作DG[?]AC，如图6，可证△DGF≌△ECF，得到DG = EC.

由AB = AC，可得∠B = ∠ACB，由DG[?]AC，得∠DGB = ∠ACB，

则∠B = ∠DGB，所以DB = DG.

由等量代换可证得BD = CE.

例2 如图7，在?ABCD中，点N为BC边的中点，M为AB边上的点，P为CD边上的点，连接MN，NP，且MP⊥CD. 求证：MN = NP.

解析：由?ABCD和BN = CN，联想“中点+平行”模型.

如图7，延长AB，PN交于点G，

易证△PCN≌△GBN，可得PN = GN.

由AB[?]CD，得∠GMP = ∠DPM = 90°.

联想“中点 + 直角”模型可得MN = [12]PG = NP.

例3 如图8，点B为线段DC上的一点，分别以DB，BC为直角边作等腰直角三角形DBE和等腰直角三角形ABC，连接AE，取AE的中点F，连接DF，CF，試判断DF与CF有怎样的关系.

解析：由题意知∠EDB = ∠ACB = 90°.

由点F是AE的中点，联想“中点 + 平行”模型.

延长CF，DE，交于点G，

可证△ACF≌△EGF，得AC = EG，CF = GF，从而可证DC = DG.

联想“中点 + 等腰”模型，可证得DF⊥CF，DF = CF.

例4 如图9，在四边形ABCD中，∠DAB = 90°，∠DCB = 90°，点E，F分别是BD，AC的中点，AC = 6，BD = 10，求EF的长.

解析：连接AE，CE，由∠DAB = ∠DCB = 90°，点E是BD的中点，联想“中点 + 直角”模型，可得EA = EC = [12]BD. 由点F是AC的中点，联想“中点 + 等腰”模型，可得EF⊥AC. 在Rt△AEF中，根据勾股定理，可得EF = 4.

分层作业

难度系数： ★★★解题时间：15分钟

1. 如图10，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， BC = 3， AC = 4，点D为AB的中点，过点D作DE⊥AB，交BC的延长线于点E，则CE的长为. （答案见第37页）

2. 如图11，点M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB = 10，MN = 3，BC = 15，则△ABC的周长为. （答案见第37页）

3. 如图12，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，BC = 4，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD = [12]AB， 连接DE，DF，则DF的长为. （答案见第37页）