一道中考题的探究与变式

高连德　左效平

真题呈现

例 （2021·四川·凉山）如图1，在四边形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，过点D作DE⊥AB于E，DE = BE.（1）求证：DA = DC;（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE = 30°，AD = 6，求DF的长. （本文仅分析第一问）

学法指导

解法1：构造正方形法

如图2，过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，

∵DE⊥AB，∠B = 90°，DG⊥BC，

∴四边形DEBG是矩形.

∵DE = BE，∴四边形DEBG是正方形，

∴DG = DE，∠EDG = ∠G = 90°.

∵∠ADC = 90°，∴∠GDC = ∠EDA，∴△GDC≌△EDA（ASA），∴DA = DC.

解法2：勾股定理法

如图3，过点C作CG⊥DE，垂足为点G，

设DA = a，DC = b，DE = EB = x，AE = m，BC = n.

∵DE⊥AB，∠B = 90°，CG⊥DE，∴四边形BCGE是矩形，

∴CG = BE = x，GE = BC = n，DG = DE - GE = DE - BC = x - n.

∵∠ADC = 90°，∠B = 90°，∠DGC = 90°，∠DEA = 90°，

∴[a2+b2=n2+（x+m）2]，[a2=x2+m2]，[b2=x2+（x-n）2]，

∴[a2+b2=2x2+m2+（x-n）2]，∴[2x2+m2+（x-n）2] = [n2+（x+m）2]，

∴[2x2+m2+x2-2xn+n2] = [n2+x2+2mx+m2]，

∴[2x2-2xn] = [2mx]，∴m = x - n，∴[m2=（x-n）2]，

∴[a2=b2]，∴a = b，即DA = DC.

解法3：全等三角形法

如图3，过点C作CG⊥DE，垂足为点G，

∵DE⊥AB，∠B = 90°，CG⊥DE，∴四边形BCGE是矩形，∴CG = BE = DE.

∵∠ADC = 90°，∠DGC = 90°，∴∠GCD = ∠EDA，∴△GCD≌△EDA（ASA），∴DA = DC.

變式演练

变式1：变换结论的表现形式.

如图1，在四边形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，过点D作DE⊥AB于E，DE = BE.求证：∠DAC = 45°. （证明过程略）

变式2：变换已知和结论，展开新探索.

如图1，在四边形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，过点D作DE⊥AB于E，若DA = DC. 求证：DE = BE.（证明过程略）

变式3：保持条件不变，探索面积型新结论.

如图1，在四边形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE = BE，则[S四边形ABCD=DE2=BE2]. （证明过程略）

变式4：变化问题背景，探索结论的稳定性.

如图4，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C，D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB的延长线于点F，连接EF. （1）依据题意，补全图形;（2）求∠AEF的度数;（3）连接AC，交EF于点H，若[FHEH=a]，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由.

解析：（1）补全图形，如图5所示.

（2）易证△ABF≌△ADE，可知△AEF是等腰直角三角形，则∠AEF = 45°.

（3）数量关系为CF = aCE.

理由：如图6，过H作HM⊥DC，垂足为M，

过H作HN⊥BC，垂足为N，易证四边形MHNC是矩形，

由∠HCM = ∠HCN = 45°，易得∠HCM = ∠MHC，

∴HM = CM，

∴HM = HN，

∴[S△FHCS△EHC=12CF·HN12CE·HM=FCEC=FHEH=a]，

∴CF = aCE.