平行四边形遇上角平分线

翟羽佳

真题呈现

例1 （2021·贵州·贵阳）如图1，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB = 3，AD = 4，则EF的长是（）.

A. 1        B. 2        C. 2.5        D. 3

追根溯源

八年级下册第159页复习题第10题：如图2，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G. 求证：AF = DE.

例1是在上述课本题的基础上增加了AB = 3，AD = 4作为已知条件，并将求证线段相等改为求线段的长.

破解策略

解决例1的关键是利用平行四边形的性质、角平分线的性质、平行线的性质得到两个等腰三角形，即△ABE和△DCF. 解题过程中需要熟悉三种基本模型：平行四边形模型、平行线的内错角模型（如图3）和等腰三角形模型. （答案：B）

变式拓展

变式1 例1中两个角平分线变为一个角平分线，已知角度，变换字母.

例2 （2021·四川·泸州）如图4，在?ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D = 58°，则∠AEC的大小是（）.

A. 61°        B. 109°        C. 119°        D. 122°

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D = 58°，

∴AB[?]CD，AD[?]BC，∠B = ∠D = 58°，∴∠BAD = 122°.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE = 61°，

∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 119°.

故选C.

变式2将例1中平行四边形两邻角的平分线变为两对角的平分线.

例3 （2021·河北·改编）在?ABCD中，AD > AB，∠ABC为锐角. 要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有如图5中的方案，作AN平分∠BAD，交BD于N，作CM平分∠BCD，交BD于M，则该方案（填“正确”或“不正确”）.

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD = ∠BCD，AB = CD，AB[?]CD，

∴∠ABN = ∠CDM.

∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，

∴∠BAN = ∠DCM，∴△ABN≌△CDM（ASA），

∴AN = CM，∠ANB = ∠CMD，

∴∠ANM = ∠CMN，

∴AN[?]CM，∴四边形ANCM为平行四边形，∴方案正确.

故应填正确.

变式3 将例1变换为作图探索题.

例4 （2021·重庆·B卷）如图6，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC = 2AB. 请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的平分线与BC交于点E. 连接BD，交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想. （尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

解析：根据用尺规作角平分线的步骤作图，如图7，射线AE就是所要求作的角平分线. 通过观察、测量，得到猜想：DF = 3BF.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形.

∴OA = OC，OD = OB.

∵AC = 2AB，∴AO = AB.

∵∠BAC的平分线与BC交于点E，

∴BF = FO，∴DF = 3BF.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：3分钟

如图8，在?ABCD中，AB = 2， ∠ABC的平分线与 ∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2 + CE2的值为.（答案見第37页）