基于解题自然的数学现象教学
2022-05-30曹彬
曹彬
[摘 要] 学生真正会解一道题的标准是解题自然，所以解题自然是解题教学的最终目标. 若学生在解题时出现思维“卡顿”就是解题不自然的体现，此时教师要打开学生的心理桎梏，将已知条件和所求结论建立联系，以明显的数学现象引出解题思路，才能让学生达到解题自然的目标.
[关键词] 解题自然;数学现象;现象教学
面对思维层次较高的高考压轴题，只有极少部分学生有勇气继续思考，而大部分学生解题思路屡屡“卡顿”，这种不自然的解题过程导致其放弃的念头越来越强烈. 有的教师为了尽快完成教学任务，采用拖着学生走的方式公布解答过程，但学生常常会为过程中的某一步纠结半天，而且一直贯穿始终的最大纠结是：“这一步是怎么想到的？”
用数学眼光观察到的表象就是数学现象，基于数学现象的教学称为数学现象教学[1]. 在解题中学生的思路出现“卡顿”就是因为现象不明显，如何让学生解题自然？可以让现象更为明显，学生通过明显的现象更有效地找到解题思路，达到解题自然的目标.
[?]分析解题过程
真题再现：（2018年全国高考数学Ⅲ卷理科第21题第（2）问）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x，若x=0是f（x）的极大值点，求a.
题目分析：这个函数解析式中含有未知数，而且一次求导后分母上也有未知数，唯一可以保证的是分母是正数，求导后可以只研究分子的正负. 题目的已知条件有“x=0是f（x）的极大值点”，可以通过极值点的定义以及求导寻找解题突破口.
题目解答：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）.
纠结1：x=0是f（x）的极大值点能得到什么结论？
现象1：因为x=0是f（x）的极大值点，所以f′（0）=0，且存在x<0和x>0，使得在区间[x，0）上f′（x）>0，在区间[0，x]上f′（x）<0（如图1所示）.
f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+-2=，令g（x）=（1+x+2ax+2ax2）ln（1+x）+ax2-x，在区间[x，0）上g（x）>0，在区间（0，x]上g（x）<0.
纠结2：函数g（x）的解析式似乎比f（x）的解析式更复杂，思路是对还是错？g（x）具有什么性质？
现象2：注意到g（0）=0，由于g（x）>0，g（x）<0，存在x
g′（x）=（1+2a+4ax）ln（1+x）++2ax-1=（1+2a+4ax）ln（1+x）+4ax，令h（x）=（1+2a+4ax）ln（1+x）+4ax.
糾结3：按函数单调性的定义可知，h（x）<0，因为不能把未知数a分离，所以解不出a，接下来该怎么办？
现象3：由g（x）的图像可得g′（x）<0，即h（x）<0，又h（0）=0，故x<0时，h（x）为增函数，x>0时，h（x）为减函数，故存在x
解题反思：这是运用数形结合思想解题的典例，以函数图像作为数学现象推动解题思路的发掘，充分暴露解题过程中的思维活动，逐一解答学生心中的疑惑，这就是自然的解题过程. 当然，如果对函数图像的描述不准确，现象不明显，学生还是会对解题过程疑虑重重.
[?]探索解题自然
当“怎么想到的”成为萦绕在学生头脑中的魔咒时，一定不是一件好事. 这是学生对自身知识结构的怀疑，也是对自身能力体系的拷问，如果在解题教学中这个问题得不到妥善解决，那么将会对学生的自信心产生毁灭性打击. 笔者认为，解题教学的出发点是澄清思路和解题自然，而解题自然有两方面的解释，一是本次解题思路是自然的，二是下次遇到类似的题目时会自然想到解题思路. 那么，在数学解题现象教学中，如何呈现现象，使解题过程更自然？
1. 打破心理桎梏，“破题”更自然
大多数教师讲解一套模拟试卷的顺序是：先讲选择题、填空题或解答题前面的题，再集中力量解决这几种题型的最后一题. 如果学生的数学总体水平不高，从“先易后难”的角度进行思考，这种讲题顺序无可厚非. 事实上，学生的数学总体水平高不高，大多是教师的主观意识确定的，与实际情况经常不吻合. 比如教学中教师认为学生解不出来的题目学生恰好解出来了，而教师认为在学生“狙击”范围内的题目学生反而做不出来，这种情况比比皆是. 沿着这个思路，大多数教师认为试卷里的最后一题就是难题，这就是教师的主观意识确定的，这在解题教学中是大忌，多次这样的训练会给学生造成最后一题一定是难题的心理桎梏，加上讲解最后一题时大多数学生已经疲惫，可以想象得到讲解最后一题的效果有多么尴尬.
倒推回去，大多是从小学和初中就形成的心理阴影，虽然高中教师无权评价小学或初中的好与坏，但不能让学生的这种心理阴影面积拓宽，那么该如何破解学生心中的难题？答案是打乱讲题顺序，先从学生先入为主贴上标签的难题开始讲解. 当教师把学生认为的难题破解了，学生会觉得“这个难题也不过如此”，一旦学生破解了心中的难题，这个“现象”给其心理产生的积极作用是巨大的. 这种积极作用在复习备考的冲刺阶段尤为重要，所以建议在复习备考阶段中先复习函数和解析几何两个板块. 当然，每个学生认为的难题不尽相同，有的认为函数题难，有的认为解析几何题难，还有的认为立体几何题难，教师实在没必要给学生大量的心理压力.
2. 联系“已知”和“所求”，理解更自然
从古到今断案的大致过程都是先审被告，审了被告再审原告，最后将原告与被告的证词相互比较，反复多次并以此判断谁的供述更接近真相. 解题也可以仿照这种思路，先“审所求”，充分挖掘所求结论背后隐藏的东西;再“审已知”，挖掘已知条件背后隐藏的东西;最后建立两者的关系. 这个思维过程要完全展现给学生，而具体的解题过程要留给学生完成.
真题再现：（2021年全国高考数学甲卷理科第12题）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b. 若f（0）+f（3）=6，求f的值.
首先“审所求”：要求f
的值，只有知道函数f（x）的解析式或者性质. 接着“审已知”：由f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图像关于点（-1，0）对称，加上f（x）的定義域为R可得f（-1）=0;由f（x+2）为偶函数可得函数f（x）的图像关于直线x=-2对称. 两个条件合起来可得f（x）的图像关于直线x=0、直线x=2和点（1，0）对称，周期是4. 当x∈[1，2]时，f（x）的解析式中含有两个未知数，需要两个方程才能解出来，正好f（-1）=f（1）=0和f（0）+f（3）=-f（2）+f（1）=6. 于是将“已知”和“所求”联系了起来，将f
3. 动画展示过程，探究更自然
对于一些所求结论不够明确的题，“审所求”得不到明显的结果，只能从“审已知”开始，但学生容易出现疑问：“应该往哪个方向思考？”此时可以利用信息技术将满足条件的图像画出来，明确要探究的结论是什么，下次遇见类似的题目时自然就有相应的解答思路.
真题再现：（2021年全国高考数学甲卷理科第20题改编）点A，A，A是抛物线C：y2=x上的三点，直线AA，AA均与☉M：（x-2）2+y2=1相切. 判断直线AA与☉M的位置关系，并说明理由.
此题让学生产生的困惑是：“直线AA与☉M会有哪些位置关系？是一直保持着一种关系，还是点A在不同的位置时会有不同的关系？”此时可以借助于几何画板解决此困惑. 作抛物线C：y2=x和☉M：（x-2）2+y2=1的图像，在抛物线上任取一点A，以AM为直径作圆，所作的圆与☉M相交于点B，C，此时直线AB，AC总是与☉M相切. 直线AB，AC分别与抛物线C相交于点A，A，连接直线AA，发现直线AA与☉M相切，拖动点A，直线AA总是与☉M相切，说明直线AA与☉M相切. 如图4所示.
学生真正会解一道题的标准是解题自然，所以解题自然是解题教学的最终目标. 在解题教学中，教师要充分准备，采用合适的方式引入解题思路，让学生达到解题自然的目标，这是解题现象教学的基本要求.
参考文献：
[1] 孙四周. 现象教学的内涵与价值[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2018（03）：5-9.
