投石问路 迁移转化

胡轶群

[摘 要]“多边形的内角和”是苏教版四年级下册的一节探索规律的活动课。这节课主要引导学生通过操作活动发现多边形内角和的计算方法，让学生经历由特殊到一般的学习过程，积累数学活动经验，感悟转化的数学思想。

[关键词]类比迁移;自主探究;小组合作;归纳推理

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）20-0050-03

【教材分析】

“多边形的内角和”在人教版教材中没有设立独立的章节，但是在四年级下册第68页中有关于求多边形的内角和的拓展内容，以及六年级下册第103页中也有相关练习，但拓展的内容不深，而苏教版教材在四年级下册专门设立一个章节来探索多边形的内角和的规律，旨在让学生经历探究问题的过程，并从中获得合情推理的经验。

【课前思考】

第一，教与学的方式。先引导学生画图分析，待学生发现规律后，再利用几何画板直观展示，激发学生自主探究问题的兴趣。

第二，课堂氛围的调控。以解决问题为目的，让学生在一个宽松愉快的氛围中自主发现并解决问题，感受数学与生活的密切联系。

基于以上两点思考，笔者确定了以下教学目标：

1.让学生探索并了解多边形内角和的计算方法，能运用多边形内角和的知识解决相关问题。

2.让学生经历探索多边形的内角和的全过程，积累探索和发现数学规律的经验，体会转化和数形结合的数学思想，激发他们的探究意识和培养他们的动手能力。

3.让学生体会转化、类比、化归的思想在几何中的运用，发展空间观念，进而体会从特殊到一般的归纳推理方法。

【教学重点】

培养学生的探究意识，用探究的方法获得解决问题的经验。

【教学难点】

总结活动过程，形成知识经验，运用活动经验解决其他问题。

【教学过程】

一、趣味导入，类比迁移

师： 正式上课之前，老师请同学们猜一个谜语——三足鼎立，谜底与数学图形有关。

生（齐）：三角形。

师：对，谜底是三角形。谁能说一说，我们学了三角形的哪些知识？

生1：三角形有三条边，三角形具有稳定性。

生2：三角形有三个角。

生3：按角分，三角形可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

生4：三角形的内角和是180°。

师：同学们对三角形的知识掌握得真牢固啊！说到三角形的内角和，你们有什么发现呢？

生5：三角形有大有小，但无论形状如何变化，它的内角和却是固定不变的，都是180°。

师：真棒！同学们想象一下，其他多边形的内角和会是怎样的呢？也是一个固定不变的度数吗？

生6：我觉得其他多边形的内角和可能会比180°大。

生7：其他多边形的内角和应该也是一个固定的度数，估计和180°有关系。

生8：有什么好方法可以很快地求出多边形的内角和呢？

师：下面我们就带着这些问题走进今天的课堂。

（反思：首先，教师用猜谜语的情境引出三角形，既提高了学生的兴趣，又让学生感受到数学与文学的联系。然后，通过引导学生对旧知——三角形相关知识的回顾，将重点放在三角形“无论形状如何变化，它的内角和却是固定不变的”这一结论上，由此激发学生进行类比、迁移、猜想活动，并提出问题：其他多边形的内角和会是怎样的呢？也是一个固定不变的度数吗？最后，带着这些问题进行教学，这些问题就是本节课的教学目标，是教学活动的灵魂。）

二、学生自主探究四边形的内角和

1.师生交流，确定研究方法

师：多边形有很多，你们认为应该从几边形开始研究呢？

生1：四边形。

师：是的，由简单到复杂是探究新知的一种重要的方法。下面我们就从探究四边形的内角和开始。谁来说一说“四边形的内角和”指的是什么？

生2：就是4个角的总度数。

师：四边形的内角和会是多少度呢？

生3：360°。因为长方形和正方形都是四边形，它们都有4个直角，内角和就是4个90°，所以四边形的内角和是90°×4=360°。

师：长方形和正方形是特殊的四边形，它们的内角和是360°。如果是一般的四边形，又怎样求它们的内角和呢？

生4：先用量角器量出4个角的度数，再相加。

师：这个方法当然行得通，但是……

生5：但是操作起来太麻烦，而且有时候也会量不准，这样结果就会出现误差。

师：能不能想办法将四边形的内角和转化成三角形的内角和，再来求一求呢？请同学们拿出学习探究单试一试。

（反思：如何提高探究活動的有效性是引导学生自主学习的关键。在上述环节中，教师首先引导学生从特殊的四边形入手，猜想出四边形的内角和是360°，然后让学生思考如何求一般的四边形的内角和的问题。对于有学生想到的测量方法，教师在肯定的同时还指出这并不是最佳的研究方法，并提示“能不能想办法将四边形的内角和转化成三角形的内角和”，鼓励学生大胆尝试、勇于实践，把学生的探究活动指向核心——运用转化的思想解决问题。）

2.学生展示，师生共同交流

师：（出示图1）请说说你的想法？

生1：如图2，用虚线连接四边形相对的两个顶点，把四边形分成两个三角形。因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2=360°。

师：老师来补充一下，四边形本来有4个内角，生1通过分割的方法，把相对的2个角变成了4个角。这样一来，四边形的内角和就变成了6个角的和，而这6个角的和恰好是2个三角形的内角和，即180°×2=360°。同学们听明白了吗？

生（齐）：明白了。

师：这种方法是数学上一种非常重要的思想方法——转化法。这条分割四边形的虚线，在数学上叫辅助线。

（反思：本环节的重点是转化法的思维过程。通过展示学生的作品，强调转化的方法，用一条虚线把四边形分成2个三角形，则四边形的4个内角的和刚好是2个三角形的内角和，即180°×2=360°。）

師：只要将四边形转化为2个三角形，是不是就可以得到四边形的内角和？

生（齐）：是的。（学生毫不犹豫地回答）

师：再来看看另一位同学的分割方法（出示图3）。你有什么想说的？

生2：这样分割，得到3个三角形，四边形的内角和是540°。

生3：我觉得不对。

师： 是哪里出了问题？

生4：四边形被分割成了3个三角形，但有的三角形的内角并不是四边形的内角。

师：太棒了，你真是个善于发现问题、积极思考的好孩子！谁能指一指哪些角不是四边形的内角？请用笔做上标记。

生5：在四边形的一条边上的3个角不是四边形的内角（上台指）。

师：原来有3个角不是四边形的内角，导致求得的四边形的内角和出错。对于这个错误，同学们可不可以进行修正呢？

生6：可以，只要从540°中减去180°即可。

师：请你说说理由。

生6：因为多数的3个角刚好是一个平角（如图4），平角等于180°。

师：太厉害了！为你的精彩发言鼓掌（师生鼓掌）。看来，我们在分割时，转化后的三角形的内角必须是四边形的内角，不能多也不能少。

师：老师发现还有同学是这样算的（出示图5）。

（反思：精彩能容“错”，借助学生的“错例”，教师进一步引导学生思考转化法的本质，不仅是把四边形分割成三角形，还要看分割后的三角形的所有内角是不是四边形的内角。教师给予足够的时间让学生修正错误，加深了学生对转化法的理解——不能多也不能少。

三、小组合作探索五边形、六边形的内角和

1.小组探究

师：我们已经知道了四边形的内角和是360°，同学们想知道更多关于多边形内角和的问题吗？

（学生在学习探究单上找到五边形、六边形，小组内交流方法）

2.展示汇报

生1：我把五边形分割成3个三角形（如图6），得到五边形的内角和是180°×3=540°。

生2：我把五边形分割成1个三角形和1个四边形（如图7），得到五边形的内角和是180°+360°=540°。

生3：六边形可以分割成4个三角形（如图8），它的内角和是180°×4=720°。

生4：六边形还可以分割成2个四边形（如图9），360°+360°=720°。

师：大家的想法都非常妙！看来求多边形的内角和并不难，只要会用分割的方法，把多边形转化为三角形或四边形来计算，就可以得到正确的结果。

3.归纳推理，揭示规律

（1）竖着看表1。多边形的边数越多，分成的三角形的个数就越多，内角和就越大。

（2）横着看表1。多边形的边数比分成的三角形的个数多2，则多边形的内角和=180°×分成的三角形的个数=180°×（边数-2）。

（反思：在学生充分理解了四边形的内角和为360°的基础上，教师放手让学生自主探究五边形、六边形的内角和。这说明教师很好地把握了教学内容的“宽度”与学生理解的“深度”之间的关系。在展示汇报环节，教师要求学生根据转化的图形说出问题解决的思路，以了解学生思维的差异，把自主探究环节与之前探究四边形的内角和的活动进行链接，形成一个完整的知识体系。在归纳推理的过程中，引导学生通过填表格，揭示多边形的内角和与边数之间的关系，成就了课堂的精彩。）

四、巩固提升，学以致用

出示巩固练习题：

1.一个多边形的内角和等于720°，这个多边形有（  ）条边。

2.一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是（  ）。

3.选择题：将一个四边形截去一个角后，得到的多边形的内角和（  ）。

A.不变    B.增加    C.减少    D.无法确定

（反思：本环节的练习题既有基础知识的运用，又有开放性思考的拓展，很好地展示了拓展类练习题的作用。）

【整体反思】

“多边形的内角和”虽然在各版教材中侧重不同，但教师都应以学生现有的知识水平为起点，通过渗透方法、凸显过程，使学生充分感受结论的得出及规律产生的过程，掌握多边形内角和的计算方法，进而培养学生解决数学问题的意识。

综上所述，在探究四边形内角和时，学生从用量角器测量求内角和到分割转化成三角形求内角和，是一个重要的思维跨越，说明学生对规律有了初步感知。教师用问题来引导学生自主探究，注重渗透数学思想方法，遵循由特殊到一般、由个性到共性、由猜想到验证的探究规律，让学生“知其然，更“知其所以然”。

（责编 李琪琦）