关于射线是“无限长的”的教学思考

张义兰

[摘 要]线段、射线、直线是简单的几何概念，教师一般用直观的光线来导入，进而引出概念。线段、射线、直线三者是相互独立的，尤其是射线和直线的无限延伸性，很难用直观事物来演示，也很难借助直观演示在三者之间建立系统化的联系。教师只有弄清概念的本质，才能帮助学生有效掌握。

[关键词]射线;直线;线段;教学思考

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）20-0017-03

射线和直线是苏教版教材第七册的内容，常规的教学如下所示：

（1） 教师利用动画演示“激光灯的强烈光线射向墙壁，起点和终点一目了然，周遭一片漆黑”，带领学生回顾学过的线段，强调线段有长度。

（2） 教师利用动画演示“撤去墙壁，激光灯的光线射向无尽的夜空”，学生描述此时的光线，教师揭示射线概念“激光灯的灯泡可以视为一个端点，从这里发射的光线向一个方向无限延伸，具备这样特性的线条可以看作数学上的射线”。

（3） 教师教授射线的画法，指出其无限延长的特性，让学生举例。学生举出“枪膛里发射出去的子弹”一例，教师感到惊讶，并解释道：“子弹最终会下落，子弹的运动轨迹是一条弧线。”

（4） 教师继续利用动画演示“把两个激光灯尾部对接，同时开灯，两条光线重合，形成一条完整的光线（如图1）。当教师准备以此生成直线，并提到直线无端点时，一位学生当场反驳道：“明显有一个端点呀。”

（5）教师分析线段、射线、直线之间的相互关系，指出：“可以从直线里截取线段和射线，线段和射线都是直线的一部分。”

（6）練习环节。对于“判断题：王师傅在工程图纸上画出一条10厘米长的射线”，学生判断其为错。对于“过一点和两点分别可以画出几条直线？”，学生表示“可以画出很多条直线”。最后，教师出示权威答案。

一、探寻缘由

课后，笔者访谈了提出“枪膛里发射出去的子弹”的学生。该生对教师在课堂上的解释不以为然，继续申辩：“枪膛里射出的子弹会落地，灯光也会暗淡消失。”笔者接着访谈提出“过两点可以画出很多条直线”的学生，他给出的解释是：“如果圆点很大，线条很细，就存在多条直线的情况。”最后，笔者又现场出题测试学生：“射线与直线，你认为谁的长度更长？”仅有2个学生回答正确，其余学生均认为直线长，理论依据是“射线是从直线中截取得到的” 。

笔者询问授课教师“射线是否是直线的一部分”，授课教师思量许久，支支吾吾地说：“许多资料好像都是这么说的，虽然没有明证，您现在这么一问，我似乎又觉得哪里不对劲。”笔者穷追不舍，授课教师开始醒悟：既然直线和射线都是无限延长的，那就没有长度，既然没有长度地就无法比较……

二、理论根源

点、直线是原始概念，类似于公理，无法用语言定义。在小学阶段，学生对线段、射线、直线都是凭直观感觉来认知的。如某版本教材中，将线段描述为“连接两点的所有几何线条中，只有线段最短”，然后指出图中什么是线段。射线既可以通过延长线段得到，也可以将直线从任意一点处切断得到。虽然线段、射线、直线三者可以互相转化，但是都是抽象的直观感知，彼此之间并没有概念上的包含关系和从属关系。国外的文献资料中，是先定义直线，再用直线定义线段;国内的教材通常是先教学线段，再引申出射线和直线两个概念，那是为了从直观上便于理解，学生也容易对照类比生活实例。

上述教学中，对于学生提出的“枪膛里发射出去的子弹”，教师解释“子弹最终会下落，子弹的运动轨迹是一条弧线”，这种理由很牵强，很难令人信服。因为数学中的直线和射线在现实中找不到原型，只能从理论上假想推测，勉强将激光灯的光线看作射线。严格来说，这些射线也有终点，起码在宏观宇宙中是这样的。数学源于生活但又高于生活，数学中的射线和生活中的“X射线”是两个概念，数学中的直线也并不是日常用语中的“平直的线条”。因此教师用“枪膛里射出的子弹最终会下落”来否定学生的举例，极不严谨。

在练习中，学生误认为过两点可以画多条直线，原因是未能分辨数学与生活的区别。数学中，点是一个位置坐标，没有粗细大小，而生活中的点却有。许多教师没有这个意识，为了醒目，将点画得很大，线画得很粗，因此给学生造成错觉。由此得到的启示是，教学时所选择的生活原型要慎重且恰当。另外，即便出现了射灯那么粗的光线，教师也应该将其抽象成数学线条。

对此，教师可以通过以下方法去澄清学生的误解：在三角形 ABC 中（如图2），线段 BC 比线段 DE 长，如果点有大小，那么线段 BC 上的点就要多于线段 DE 上的点，然而，将A 点与BC 边上的任意一点连接，都会与DE形成一个交点，交点与连接点严格一一对应，例如G点的对应点是F点，I点的对应点是H点。

这样就可以成功地证明点没有大小之分，线没有粗细之分。如果说在小学阶段无须较真“点没有大小之分”和“线没有粗细之分”，那么对“线的无限长”这个抽象概念，则避无可避。从错误观点“直线比射线长”中可以看出，学生对“无限长”的概念理解很模糊。当然，这也可能是教师的误导造成的，教师在沟通线段、直线、射线之间的关系时，采用的就是截点法，给出“射线是直线的一部分”的表述。这一表述，很容易使学生产生误解——射线比直线短。另外，直线是向两端无限延长，而射线则是只能朝着一个方向延伸，这也间接加剧了这种误解。

其实，对于无限量的比较，要彻底克服“部分小于整体”这种思维定式的负迁移，从另一种理论来分析无限量：从集合论出发，直线和射线都是点集，射线点集都包含于直线点集中，因此可以说，射线点集是直线点集的真子集。因此，“射线是直线的一部分”的说法是符合逻辑的。类似的“奇数是自然数的一部分”的说法成立，但是“自然数个数比奇数个数多”的说法就站不住脚，因为它们的数量都是无限增长的。另外，前面提到的三角形 ABC ，尽管看上去线段 BC 比线段 DE要长一些，但两条线段上的点是一一对应的。

三、改进教学

如何说清射线和直线的无限性呢？最好的做法是想象——“这条直直的线，无限延伸，穿过了黑板，穿过了教室，穿过了城市，穿过了中国，穿过了亚洲，穿过了地球，穿过了太阳系……宇宙无限，它就无限……”，学生在这样的情境中就能慢慢感受“无限”。

小学生对“无限”很难建立理性的认知，只能通过想象完成。其实，这种想象是可以直观化的。首先，教师可以利用线段来介绍点集的存在：出示两个孤立的定点。接着，教师动画演示续接成线，为了表示出起始位置，一般着重加粗标明端点，借此刷新线段原有的概念。这就是告诉学生，正是因为线段有首尾端点，所以才有长度。然后，教师利用动画演示一个端点不断延伸，这样，端点位置的标记意义就会凸显出来。有了前面的铺垫，教师就可以对线段加工，演示射线和直线的生成：从一点出发，向一个方向延伸，到某处终结，形成线段;按照这种操作，如果一直移动，永无止境，就形成射线。最后，教师让学生尝试画出这种运动轨跡，这样学生就会设法表示这种没有终点、无休止的运动，可能会出现以下表达方式（如图3）：

当然，学生也可能受到端点确定边界的启示，用不标记端点来表示无限延长。为了强化无限的概念，教师不妨画出“长短”各异的多条射线，让学生在分辨中意识到，射线的无限长不受实际画图时的“人定长短”限制。

由光线引入直线学习，能让数学更贴近生活，而由点的运动轨迹和点集引入，则体现了数学的理论性和严谨性，可以有效规避光线粗细、被阻断等不利因素的干扰。实际教学时，两种方法可以互为补充。线段、射线、直线之间没有概念的从属关系，各自独立，采用点的运动轨迹演示，三者之间能顺理成章地建立起联系。如果把射线看成是点运动后没有尽头的轨迹，那么“枪膛里发射的子弹”所形成的轨迹就要比光线更符合射线的特质。可见，“枪膛里发射的子弹”是一个很好的例子。一旦射线的无限性阐释清楚，直线的无限性就会水到渠成：第一种办法，让线段的两个端点永不停息地背向而行;第二种办法，让射线的一个端点运动起来，向反方向永不停息地运动。为了让学生对线段、射线、直线形成系统、完整、严谨的认知，教学中教师可以将这两种办法应用到导入环节或巩固环节。

四、优化训练

众所周知，任何一项学习都需要有训练的环节，这样的学习才完整。在射线和直线的教学中，教师要围绕教学主旨，结合该部分知识的“前世今生”，设计一些有趣味性且富有挑战性的学习训练，促进学生对射线、直线知识的理解。

1.关注基础夯实，设计对应训练

培育学生的学习技能，构筑对应的知识体系，不是靠40分钟就能一步到位的，也不是依托题海战术就能奏效的，夯实学习基础才是重中之重。因此，在训练的第一部分，教师就要引导学生进行必要的基础性练习，通过练习理解“射线是无限长”的本质。

比如，引导学生画一些射线，并组织他们进行讨论交流。“你认为自己画得对吗？”教师的追问能让学生更好地回忆起课堂中学到的概念，他们就会解释：“我先画出一个端点，再沿着直尺的边向一边无限画下去，这就是射线。因为它只有一个端点，而且是直线的一部分，所以它是没有终点的。”也有学生提出：“可以先画出一条线段，再把它向一方无限地延伸下去，这样也能得到一条射线。”

2.重视理解跟进，设计变式练习

经验和思维的强化都需要一个曲折且漫长的历程。这时，教师就要利用恰当的变式训练来优化教学，促进学生理解概念。因此，教师要设计相应的变式训练来促进学生对射线无限长认识的升华。

比如，设计判断题：（1）小明画出了一条50米长的射线;（2）小东认为，射线只有一个端点，直线没有端点，所以直线要比射线长一些。通过这样的习题训练，学生意识到同伴学习的状态，进而兴趣满满地参与到问题的辨析之中。其间，有学生提出：“前面已经知道射线是需要沿着直尺的边无限地延长下去的，所以50米这个长度的射线是错误的。”有学生认为：“射线是由线段向一端无限延长，既然是无限的，这不就和直线的特性一致吗？它们都是无限的，又怎能说谁长谁短呢？”

又如，引导学生用儿歌的方式记忆和领悟射线、直线和线段的特点，使得学生用好玩、有趣的方法记忆这些知识要点，建构相应的认知体系。像猜谜语的方式就可以让学生在思考中感悟射线、直线、线段：有始有终——（    ），有始无终——（    ），无始无终——（        ）。

综上，对于文章开头的教学中，在从激光灯引出直线时，学生认为激光灯的灯泡本身就是一个“端点”，这是受前面线段和射线端点的影响，学生无法辨别端点究竟是不是点。而点动成线的直线形成方式就能将端点归纳为动点的起始位置。因此，对“线段和射线是直线的一部分”的这种误解，教师不妨用“射线与直线，哪个长度长”这一问题来代替“王师傅在工程图纸上画出一条10厘米长的射线”这样的判断题，这样就能第一时间将“无限”的概念准确地传达下去。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 张平.基于“童心数学”思想的小学数学教学设计：以《射线、直线和角》的认识为例[J].数学之友，2020（6）：62-63，67.

[2] 方文东.从表象到本质，为学生铺设几何概念学习的基石：以小学数学“认识射线、直线和角”为例[J].生活教育，2020（4）：96-98.

[3] 巢亚美.小学数学“几何概念”教学不同版本教材比较分析：以“射线、直线和角”一课为例[J].江苏教育研究，2015（Z2）：68-70.

（责编 金 铃）