对一道二元方程条件下最值试题的探究

摘 要：在简要梳理2020年天津卷第14题多视角解答的基础上，揭示了试题命制的高等数学背景，并对试题进行了变式与推广研究，得到了一些有趣的结论.

关键词：拉格朗日乘数法;极值问题;逻辑推理;数学运算

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0048-04

1 试题呈现

题目 （2020年高考天津卷第14题）已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为.

本题是二元方程约束条件下的二元函数最值问题，试题设计简洁清新，构思别具匠心，解法灵动多变，饱含数学思想，凝聚命题专家的智慧. 同时，试题涉及知识点较多，综合性较强，呈现出一定的综合性与选拔性，需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

2 初等解法

在高中阶段，解决此类问题可从方程有解、函数最值（三角代换或导数）、不等式（如基本不等式、柯西不等式等）等视角解答.其中，消参减元转化是解题的基本原则，即把双变量问题转化为一元函数或方程问题，再辅以转化与化归、函数与方程、分类讨论、换元法、配方法等典型数学思想和方法，妙趣横生.

3 命制背景

本题命制的背景是拉格朗日乘数法求极值问题. 其基本原理是：设给定二元函数z=f（x，y）和附加条件φx，y=0，为寻找z=f（x，y）在附加条件下的极值点，先构造拉格朗日函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中λ为参数，求L（x，y）对x，y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即

点x，y即是函数z=f（x，y）在附加条件φx，y=0下的可能极值点.若这样的点只有一个，可确定此点即为所求的点.

其几何意义是：设给定目标函数为f（x，y），约束条件是φx，y=0.如图1示，曲线L为约束条件φx，y=0，f（x，y）=C为目标函數的等值线族.在f（x，y），φ（x，y）偏导数都连续的条件下，目标函数

f（x，y）在约束条件φx，y=0下的可能极值点M（x0，y0）必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点.

参考文献：

[1]于先金，杨瑜.一道最大值高考模拟题的探究[J].中学数学研究，2021（03）：33-35.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：张志刚（1983-），男，山东省泰安人，中学一级教师，从事高中数学教学研究.