不等式恒成立问题的解法探究——2022年新高考全国Ⅱ卷数学第22题

摘 要：本文以2022年新高考全国Ⅱ卷第22题为例，对题目进行多角度分析，总结高考中常见的不等式恒成立问题的解题策略，同时给出备考建议.

关键词：新高考;函数与导数;数列

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0036-03

2022年的高考数学卷着眼于对数学思想方法和数学核心素养的考查，其中新高考Ⅱ卷第22题则是将导数、不等式、数列有机结合对学生进行考查.下面将对新高考Ⅱ卷第22题进行解答与分析.1 试题呈现与评析

试题评析 本题第（1）小问讨论函数单调性，主要考查函数与导数、单调性与导数的关系等知识;考查学生函数与方程、数形结合的数学思想以及运用基础知识解决数学问题的能力.第（2）小问主要考查函數与导数、不等式恒成立求参数取值范围的问题，考查学生对问题的分类讨论能力、逻辑推理能力以及数学建模能力.第（3）小问主要考查通过函数导数解决不等式的基本方法，实现问题的解决.本题充分体现了起点低，落点高，涉及知识点较多，有很强的综合性和灵活性，具有一定的区分度，自主探索性强，是一道考查学生数学素养和能力的优质题.

2 试题解法研究第（1）问求导后容易判断单调性，这里解答从略.下面对第（2）问进行研究，相关解法如下.

2.1 第（2）问解析

思路1 对参数讨论，转化为恒成立.

解法1 若a≥1，由（1）知，当a=1时，f（x）的最小值为f（0）=-1，即xex-ex≥-1，所以当x>0时，f（x）≥-1，与题意矛盾;

评注 解法1是对参数进行分类讨论，进而将所证明不等式转化为恒成立问题，利用同构结合函数单调性进行证明解决，其中对参数分类讨论时节点的选取较为不易想到.

原不等式恒成立等价于y=ax的图象位于y=g（x）的图象下方，临界情况为两函数图象相切，切点易知为x=0.由于g（x）在x=0处无定义，下面则对其导函数分析，

评注 解法2是将所给不等式合理变形转化为f（x）>g（x）的形式，能够较容易地判断出不等号两边函数的图象关系.难点在于对g（x）及其导数在x=0的讨论，涉及到高等数学中的极限思想，较为复杂.

评注 两种解法均为直接变形后移项构造函数，但后续对于导数结合不等式的放缩的讨论情况比较复杂，而对导函数求解零点的讨论相对简单.相比于解法1，2，这两种解法较为常规，同时也是构造含参函数解决不等式恒成立问题的一般思路.

2.2 第（3）问解析

评注 此题的难点在于如何将不等式进行转化，第（3）问可以在第（2）问的基础上对问题进行解决，通过构造函数相对应的不等式，进而对x取值，得到数列型不等式，也可以直接观察所需证明的不等式与函数方程结合解决问题.本题将函数、导数、数列以及不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用函数、不等式思想解决复杂问题的能力，对直观想象和逻辑推理能力也有较高的要求.

对导数的学习要淡化技巧， 重视基础， 回归问题的本质，掌握基本数学思想，注重通解通法.作为一名教师，教学中要巩固学生的知识基础，构建完整的知识体系，帮助学生将知识整合并对其系统化.此外，教师在解题教学过程中应当把握教学目标， 巩固学生对自身知识的认知， 坚持问题驱动原则，引导学生思考问题.充分利用数学思想进行解题指导，多角度尝试解决问题，从而培养学生的数学思维，提高数学素养.

参考文献：

[1]李浩宾，高军.不等式恒成立问题的解法探究——以2020年高考全国Ⅰ卷理科数学压轴题为例[J].中学数学研究（华南师范大学版），2020（21）：9-11.

[2] 胡贵平.导数中的数列型不等式[J].数理化解题研究，2019（25）：2-5.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：廖梓豪，男，本科在读，从事中学数学教学研究.