中考函数易错点剖析

刘斯文

函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题和解答题，常与方程、不等式、几何等知识结合在一起综合考查. 虽然函数在中考中经常会出现难度较大的题，但基础性问题中常见的易错失分点也要引起同学们足够的重视.下面整理函数在中考中常见的易错点，供同学们参考.

一、涉及距离问题时，忽略横、纵坐标的特征

例1 （2020·山东·滨州）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（）.

A. （-4，5） B. （-5，4）

C. （4，-5） D. （5，-4）

错解：∵点M在第四象限内，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，

∴点M的纵坐标为-5，横坐标为4，

即点M的坐标为（4，-5）.

故选C.

剖析：错解没有理解点到坐标轴的距离与坐标之间的关系，从而出现横、纵坐标写反的错误. 点到x轴的距离应为其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离应为其横坐标的绝对值. 还要考虑点所在的象限，来确定坐标的正负性.

正解：∵点M在第四象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，

∴点M的纵坐标为-4，横坐标为5，

即点M的坐标为（5，-4），

故选D.

二、在利用反比例函数的增减性比较函数值的大小时，忽略分析两点是否在同一象限内

例2 （2021·天津）若点A（-5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y = -[5x]的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）.

A. y1 < y2 < y3   B. y2 < y3 < y1

C. y1 < y3 < y2   D. y3 < y1 < y2

错解：∵反比例函数y = -[5x]中，k = -5 < 0，

∴函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且y随x的增大而增大，

∵-5 < 1 < 5，

∴y1 < y2 < y3.

故选A.

剖析：此题考查反比例函数的增减性，反比例函数的增减性强调“在每一象限内”，即两支曲线要分别考虑. 其中，函数在第一、第二象限的函数值大于在第三、第四象限的函数值.

正解：∵反比例函数y = -[5x]中，k = -5 < 0，

∴函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，

∵-5 < 0，0 < 1 < 5，

∴点A（-5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，

∴y2 < y3 < y1，

故选B.

三、平移拋物线求解析式时，弄反平移方向

例3 （2021·山西）抛物线的函数表达式为y = 3（x - 2）2 + 1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）.

A. y = 3（x + 1）2 + 3

B. y = 3（x - 5）2 + 3

C. y = 3（x - 5）2 -1

D. y = 3（x + 1）2 -1

错解：将抛物线y = 3（x - 2）2 + 1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，

根据平移法则“左加右减，上加下减”，

可知所得抛物线解析式为y = 3（x + 1）2 + 3.

故选A.

剖析：此题考查函数图象的平移法则. 按照法则上述解法貌似正确，但是此题平移的是坐标轴，而不是图象，所以和平移法则正好相反. 因此，此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线的解析式.

正解：根据题意知，相当于将抛物线y = 3（x - 2）2 + 1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，

所得抛物线解析式为y = 3（x - 5）2 - 1.

故选C.

四、求二次函数的最值时，忽略自变量取值范围对结果的影响

例4 （2021·广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同. 在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒;每盒售价提高1元时，每天少售出2盒. 设猪肉粽每盒售价为x（50 ≤ x ≤ 65）元，y（单位：元）表示该商家每天销售猪肉粽的利润，求y关于x的函数解析式并求最大利润.

错解： 设猪肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为（a - 10）元，则[8000a] = [6000a-10]. 由此即可求出猪肉粽每盒进价为40元，豆沙粽每盒进价为30元.

由题意，得y = x[100 - 2（x - 50）] - 40 × [100 - 2（x - 50）] = -2x2 + 280x - 8000 = -2（x - 70）2 + 1800，

∴当x = 70时，y取最大值，最大值为1800元.

剖析：本题考查分式方程和二次函数最值问题. 在求二次函数最值时要注意题中自变量的取值范围，图象有可能不包含抛物线的最高点或最低点.

正解：列分式方程即可求出猪肉粽每盒进价为40元，豆沙粽每盒进价为30元.

由题意得，y = x[100 - 2（x - 50）] - 40 × [100 - 2（x - 50）] = -2x2 + 280x - 8000，

配方，得y = -2（x - 70）2 + 1800，

∵x < 70时，y随x的增大而增大，且50 ≤ x ≤65，

∴当x = 65时，y取最大值，

最大值为-2 × （65 - 70）2 + 1800 = 1750（元）.

答：y关于x的函数解析式为y = -2x2 + 280x - 8000（50 ≤ x ≤ 65），最大利润为1750元.

函数在中考试题中有难有易，解决基础性问题时，同学们不仅要有扎实的基础知识作为保障，还要有一双慧眼去识别题中的条件. 只有这样，同学们才不容易掉进命题者设置的“陷阱”中.

（作者单位：辽宁省实验中学浑南一中）