基于高阶思维培养的数学贯通课程建设

袁野 唐大友

研究背景

教育部印发的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中明确界定了学科核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中则明确提出了中学数学的六大核心素养，它是在《义务教育课程标准》中“四基”的继承和发展。因此，在初中数学中，“四基”就是学生形成和发展数学核心素养的有效载体，而“四基”就是要把握数学知识的本质，在数学教学活动中，让学生在掌握知识与技能的同时理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累数学思维和实践经验，在此基础上促进学生數学学科核心素养的形成，从而将立德树人根本任务落到实处。

数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力，可以理解为学生学习数学应当达成的、有特定意义的综合性能力。核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。它是基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质、设计数学教学以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。

高阶思维是发生在较高认知水平层次上的心智活动或较高层次的认知能力；高阶思维是高阶能力的核心，主要指创新能力、问题求解能力、决策能力和批判性思维能力。结合数学学科特点，所谓的数学高阶思维是指发生在数学思维活动中的、较高认知水平层次上的心智活动或认知能力，在教学目标分类中表现为分析、综合、评价和创造，具有严谨性、深刻性、定量性、批判性、独创性、灵活性等特点。高阶思维是思维能力的核心，主要由问题解决、思辨提升、拓展创新等能力构成。

初、高中课程内容设计现状

现有初、高中数学知识的学习要求存在较大差异。例如，立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用；因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、解不等式等；初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容……对于这些学习要求上存在差异的内容，教师可以根据学生的兴趣进行选择性设计，不能一味地追求高阶思维的培养，随意增大教学难度而加重学生的负担，导致学生失去学习数学的兴趣。

上好初中第一堂“动员课”，激发学生兴趣

任何数学知识、数学思想、数学方法的背后，总是凝结并积淀着人类漫长的数学探索进程中坚韧的步伐、前进的脚步。数学从其源头看，是生动活泼、富有生机的，教师要善于点燃学生想象的火花、激活其思维的萌芽，抓住教育契机激发其学习数学的愿望。小学升入初中，数学的严谨性与抽象性就越发明显，也逐渐使越来越多的学生厌学、惧怕。对此，小学升入初中的第一节数学课对学生初中数学的学习具有重要意义。

为了使学生对数学产生兴趣，教师不应给他们上新课，而是要上一堂让他们“乐而忘返”的“动员课”。课上，教师可以和学生做一个数学游戏。例如，让学生先任写一个多位数（25639），然后将这个多位数的各位数位上的数字作任意的变换得到一个新数（如62935），再将这两数相减，把差中的任一数位上的数字去掉（不能是0），只告诉老师余下的数字（如62935-25639=37296，去掉3，只告诉7、2、9、6），教师便很快能说出学生去掉的到底是哪个数字（如上例中的3）。这时，学生便会对教师“神机妙算”的本领产生兴趣。教师再因势利导，向学生简介数学发展史、有关数学家的光辉事迹，特别是我国数学史上的巨大成就，并向学生讲清“数学是自然科学之母”以及“数学是训练人思维的体操”的道理。“一石击起千重浪”，学生们始终沉浸在“心潮逐浪高”的热烈激动的气氛之中，这堂课也就达到了激发学生学习数学兴趣的预期效果。

重视概念教学，为培养高阶思维能力奠基

数学概念是反映一类对象在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。数学概念所代表的是一类对象，而不是个别事物，它反映的是这类对象的内在、固有的属性，而不是表面的属性，在这类对象的范围内具有普遍意义。

对于初中生而言，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，也是提高解题能力的关键。因此，数学概念教学在初中数学教学中具有重要意义。

学生从小学升入初中后，在数学学习方面需要经历从直观、形象到抽象认识的过程。如果教师能够在学生刚升入初中时就抓住概念教学，并且从每一个符号开始，阐述其意义，让每一个学生都能够做到“识符号，辨意义”，学生自然就能够运算准确。实践证明，“识符号，辨意义”对于学生学习有理数的运算、有理数的乘方、整式的加减、幂的运算等内容效果非常好，不但能够帮助学生准确计算，还能够培养他们学习数学的信心，激发其学习数学的兴趣。

培养数学学习习惯，促进高阶思维能力发展

好习惯受益终身，优秀习惯成就未来。洛克曾说过：“儿童不是用规则可以教得好的，规则总是会被他们忘掉的。但是习惯一旦培养成功之后，便用不着借助记忆，很容易地自然地就能发生作用了。”因此，数学教师要注重在课堂中培优学生学习的优秀习惯，如认真“听”、积极“想”、仔细“审”、独立“做”、善于“问”、勇于“辩”、客观“评”等习惯。

高中阶段数学学科的学习内容多，抽象性、理论性更强，思维的跳跃性强。调查发现，部分学生在升入高中后会对学习高中数学感到不适应，往往会遇到上课时听得懂，但课外习题不会做、作业书写不好等问题，不习惯于预习、复习，缺乏独立分析、解决问题的能力。究其原因，在于学生对概念、符号、定理的理解不够透彻，参与学习的内驱力不足，对学习的专注度和努力程度不足。因此，初高中数学教师要坚持在教学中注意调控学生参与课堂的延续性，重视学生的课后行为参与，帮助他们养成自觉预习、复习、思考等良好的学习习惯。

利用“变式教学”，培养高阶思维能力

核心素养的获得是后天的、可教可学的，具有发展连续性。创造性思维不是与生俱来的，而是需要后天培养锻炼出来的。数学是一门高度抽象的学科，能很好地锻炼学生的逻辑思维和坚强意志。学生在学习过程中会遇到很多综合性较强的题目，这也让部分学生觉得数学很难学，甚至对数学的学习失去兴趣和信心。究其原因，主要是学生并没有掌握数学学科的本质，所学习的知识浮于表面，缺乏灵活性。因为教师在授课中往往只是采用题海战术，没有将题目之间的内在联系整理归类，帮助学生梳理不同题目之间的共性与特性，没有做到知识传授的深入浅出，时间久了，就会导致学生产生厌学心理。针对这一情况，教师可以在数学教学中尝试“变式”教学。

“变式”教学，是指在引导学生认知事物属性的过程中，不断变更所提供的直观材料或事例的呈现形式，使事物的非本质属性时隐时现，而本质属性保持恒定。教师在应用“变式教学”时，需要遵循“目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新”的教学原则，以培养具有创新意识和创新能力的人才为目标。数学教学中的“变式”，即对数学概念、定义、定理、公式及问题背景进行不同角度、不同层次、不同情形的变化，使其面目不一，而本质特征不变，以暴露问题本质特征，揭示不同知识间的内在联系。新课程背景下数学学科的“变式教学”，既能培养学生的思辨能力，又能帮助学生从整体上把握知识的内在规律，能够高屋建瓴、应用自如地应对新课程的学习。

通过常规变式，培养质疑习惯和逆向思维能力，增强辑推理能力 所谓常规变式，就是将题目的条件与结论互相调换或者改变题目的已知条件。通过将原题引申变式，改变原题中的条件，起到举一反三的示范作用，同时激发学生的探究热情，使学生的知识网中产生新的生成，提高课堂教学的有效性。

通过“一题多解”的变化解题方式，培养探究习惯，增强发散性思维能力 所谓“一题多解”，就是从不同的角度思考、分析同一道题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。它可以帮助学生构建知识间的联系，加深对所学知识的理解，提高思维的灵活性和解决问题的能力，从而在学习中体验成功的快乐。此外，充分发挥习题的变式功能和解法的多样性，还能够让学生获得因创新带来的成功喜悦，逐步增强探索和创新意识，培养数学思维的严密性。

通过“多题一解”变式，培养归纳梳理知识的习惯，增强应变能力 所谓“多题一解”就是多个看似不同的问题在解决过程中用到了同样或类似的方法。“多题一解”可以有效发展学生的抽象概括能力，使学生看清数学的本质。

许多数学练習看似不同，但它们的内在本质（解题思路、方法）是一样的，这就要求教师在教学中要充分重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生理解它们之间的内在联系，形成数学思想和解题方法。通过“多题一解”的变式训练，既可以帮助学生巩固和强化解题思想和方法，又让学生通过抓住本质，触一通类，培养变通能力，激活思维，从而收到举一反三、少而胜多的教学效果。

总之，在数学教学中采用变式教学，可以将看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成有规律可循的系列，有效增大课堂容量，起到以一当十、以少胜多的教学效果；能够充分展现教学过程中教师与学生的思维过程，充分调动学生学习的积极性，使他们主动参与教学的全过程，在解答问题的过程中寻找解类似问题的思路、方法，培养独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的创新思维的能力，从而真正将学生能力的培养落到实处；通过变式练习，学生不再需要大量、重复地做同一样类型的题目，也就无需茫茫的题海，同时又能有效提高学生的数学核心素养，真正实现了“减负增效”的目标，还能让学生领略到数学的和谐、奇异与美妙，能够收到极好的学习效果。

通过“项目式”学习，提升高阶思维能力

最有效果的学习方式是教会别人。因此，教师要多为学生创造交流、深入思考、提升能力的契机。项目式学习对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力意义深远，同时，还能够帮助学生提高逻辑和数学抽象能力，形成模型思想，提升其应用意识和创新意识。

例如，借助“项目式”学习解决“折叠问题”，促进高阶思维形成。“折叠”作为图形的三大运动之一，题型多样，变换灵活，多以折叠问题为主要载体综合其他几何图形的知识进行考查。因图形复杂、关系复杂，又融合了多个数学的知识点，成为学生的学习难点。学生在紧张的考试过程中解答有关“折叠”的问题，不能只靠动手操作来解决，只有透过现象看折叠问题的本质，才能迅速找到破解折叠问题的方法。那么折叠的本质是什么呢？常见的折叠都有哪些类型呢？在初中数学中有哪些常见的折叠问题和解决策略呢？教师可以带领兴趣小组同学以项目式学习进行梳理，合作研究、归纳总结、拓展创新、总结提升，促进高阶思维的形成。

又如，借助“项目式”学习解决“函数综合问题”促进高阶思维形成。函数综合问题包含“含参数的分段函数”“利用函数图像解不等式”“函数用图像变换”等，这些问题的解决需要类比思维、逆向思维、批判思维等高阶思维，更需要探究能力、推理能力以及创新能力等综合解决问题的能力。关注函数定义域、奇偶性、单调性、周期性，结合函数零点、极值、最值以及函数值的变化趋势，做出函数的大致图像，借助直观模型和分类讨论思想等便可突破难点，问题得到迎刃而解。

总之，核心素养反映数学本质与数学思想，数学学科核心素养的形成和发展，需要学生在教师的启发和引导下，独立思考或与他人交流，最终领悟出来，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法，是一种经过日积月累逐渐形成的高阶思维。因此，教师要坚持长期在数学教学中有意识地展现教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习兴趣和主动参与教学全过程的积极性，以此培养学生独立分析和解决问题的能力和创新思维能力，从而真正将学生能力的培养落到实处。