从数学抽象角度看平方根（1）的教学

沈卓

平方根是苏科版八年级数学上册第四章第一节的内容，第1课时主要解决平方根、开平方的概念问题。根据教材情境的创设，我们可以看出设计者的意图，第三章学生刚刚学过勾股定理，这一节内容以直角三角形算斜边来引入，既体现了一种承上启下的自然过渡，又凸显了平方根的实用价值，解决了为什么要学的问题。但在这节课的学习中，学生还是经常产生疑问和混淆，比如：平方和开平方的关系到底是怎样的？因为我们在作业中经常遇到这样的问题，“2的平方是4”这句话是对的，但“4的平方根是2”这句话就错了，因为这种非对偶性，学生容易对这两种运算之间的互逆性产生疑问。还有为什么要引进根号这个符号？为什么只有非负数才有平方根？什么时候保留根号什么时候算出结果？诸如此类的问题，很多时候都是草草而过，学生只知其然，而不知其所以然，核心素养并未得到提升。为了解决这些问题，笔者根据徐利治、郑毓信所著的《数学抽象方法与抽象度分析法》一书中数学抽象方法的若干原则，尝试对这节课进行思考和整合，通过几个教学片段的分析，探寻方法论指导下概念课教学的方向。

一、符号意识促进概念生成

教学片段1：

师：在课本94页的图4-1中，小方格的边长为1，你能算出图中AB的长吗？

生：由勾股定理可得AB2=32+42=25，所以AB=5。（负舍）

师：那你能算出图中A′B′的长吗？

生：可以算出A′B′2=41，但A′B′算不出来。

师追问：为什么算不出来呢？

生：“A′B′不是整数。”“除不尽。”“不是有理数。”“表示不出来。”……

生：我会了。

师：那么，当x2=41时，x等于多少？

师小结：很好，当x2=41时，x叫做41的平方根，也称为二次方根，顾名思义，这个方程涉及的运算是平方（二次方）运算，x也是这个方程的解（根）。

生：知道了。

师：那么x又等于多少呢？

生2：不对x也有可能不存在。

师追问：为什么呢？

生：任何一个数的平方都是非负数，当a是一个负数的时候，x就不存在了。

二、辩证思维突出概念特征

教学片段2：

师：刚刚我们知道了什么是开平方，为了研究它的特点，我们可以把它和什么运算联系起来？

生：平方运算，它们互为逆运算。

师：那么平方运算有什么特点呢？

生：“任何一个数都可以平方。”“平方的结果都是非负数。”“有理数的平方还是有理数，无理数的平方可能是无理数，可能是有理数。”……

师：在此基础上，请你思考开平方的特点，它和平方运算之间有哪些区别和联系呢？（给学生独立思考的时间）

师：请你和组员分享交流你的发现，越全面越好。（给学生小组交流的时间）

师：说说你的发现。

生：“任何一个数都可以进行平方，但只有非负数才能开平方。”“平方运算的结果只有1个，开平方的结果可能有互为相反数的两个（正数），也可能只有一个（0），也可能没有（负数）。”“一个有理数的平方根可能是有理数，也可能是无理数，一个无理数的平方根还是无理数。”……

师小结：经过刚才的讨论和分享，相信同学们对开平方的理解更加清晰了，平方和开平方互为逆运算，它们存在一定的联系，但不是完全统一，在应用的过程中不能靠想当然来解决问题，必须经过严谨的思考。

在种种数学模式的探索、设计与建构过程中，应当力求按照简单性、统一性、对称性和奇异性等审美标准去选择目标和方法，即抽象方法中提到的审美直觉选择性原则。这種审美直觉的引导和培养是数学学科育人的一种重要体现。在初中阶段的数学学习中，很多命题都会成对出现，容易令人形成一种思维的惯性（某种低层次的审美直觉），数学概念存在必然可逆性或必然对称性。这其实也是导致平方根（1）这节课中为什么总是有孩子犯这样的错误，即他认为4的平方根只有2，因为倒过来2的平方是4是正确的。所以我们在教学中要注意，审美直觉是需要培养的，没有这种直觉，学生就会缺乏思考问题的方向，但在审美直觉的引导下，我们不应想当然，而应当有意识地去培养一种辩证的思维。在平方根（1）这节课的教学中，我们可以先鼓励学生通过联系过往经验去发现平方和开平方的互逆性，再根据逆向分析精确化原则，即在数学的研究中，应当注意通过命题及其逆命题的综合分析更好地把握有关概念的本质特性，并最终建立有关概念的严格定义，通过分析它们之间的联系和差异去发现开平方的特性并使得这种特性被反复强化，那这节课的重难点也就解决了。这一过程也是一种强抽象思想的体现，利于学生构建知识点间的联系，形成知识网络。

三、细节突破加深概念理解

师：没错，在乘方运算中，乘方既表示运算又可能表示幂。根号这个符号既可以表示开平方这种运算，在一些结果是无理数的情况下，又可以表示结果。区分清楚根号的作用有利于我们正确地理解式子的含义，找出正确的答案。

类比联想在教学中有着广泛的应用，如学习了一元一次方程的定义就可以推出一元二次方程的定义。而因为学习一次函数时研究了它的定义、图象、性质、应用，所以学习二次函数时也可以从这几个角度去研究，这就是一种思维方法的类比了，就需要教师有意识地去引导和培养。在这节课中有一点值得细究的内容，即对根号的理解，根号不仅能用来表示一个数的平方根作为结果存在，还能代表开平方这种计算，而这种细节的问题其实是很多老师在教学中忽略的。为了更好地理解这种双重性，我们可以将开平方与之前学过的乘方运算进行类比，它们都身兼运算、结果的双重身份。明确了根号的意义就能让学生正确列式或者正确理解式子的意思，在很大程度上能解决学生在求平方根时混淆不清，经常漏解、多解、化简有疑问的情况。所以，我们的概念课教学应在概念的细节上多琢磨，练习则可以适当精简，教学效果可能会更好。

我们在这一教学过程中用到的建模、类比、逆向思考等思想方法在日常教学中常常用到，初中阶段的学生对这些思想方法的认识是模糊的，而教师则是有这样的意识但很难教给学生，大部分人都不清楚这些都是数学抽象的体现。其实数学抽象既是解决问题的手段，又是需要培养的能力，它非常“抽象”，所以我们更需要相应的方法论的指导。而由于概念与抽象不可分割的特性，概念课就是应用和培养数学抽象能力的最佳阵地，两者相辅相成。借助数学抽象的方法和原则去审视概念课的教学应成为概念课教学的一个新视角，让概念课脱离僵硬生成、练习强化的老套路，真正培养学生的核心素养。

参考文献：

徐利治，郑毓信.数学抽象方法与抽象度分析法[M].南京：江苏教育出版社，1990.