前伸后延构体系 上下贯通促思维

车淑丽

“分数的基本性质”一课是“数与符号的认识”单元主题中的内容，是在学生已经掌握了商不变的规律、小数的性质、分数的意义以及分数与除法的关系的基础上进行教学的。从商不变的规律到小数的性质再到分数的基本性质，这些规律都是在“变与不变”中凸显本质特征、感悟数学思想的。因此，作为一节生长课，本节课我力求从学生已有的知识经验引入，通过数学思维方法的再现和迁移，将学生带到“最近发展区”，为学生铺设一条思维路径。在探究过程中，我引导学生运用数形结合的方法归纳概括分数的基本性质，并且借助图形揭示分数相等的秘密，引导学生理解规律背后的本质特征。学生经历猜想、实践、观察、验证的全过程，在“变与不变”中探究、发现规律，初步感知“等价类”以及“无限”的数学思想，培养了数感，发展了数学推理意识。这样，能够为学生后续学习约分、通分提供依据，为“分数的计算”及“比的基本性质”的学习打下坚实的基础。

一、从点出发，激活学习经验

小学数学知识是一条线。“前伸”就是弄清楚知识（包括数学概念、原理、方法、規则、思想、思维等）的源头和发展脉络，解决“从哪里来”的问题;“后延”就是要弄清楚知识的发展趋势，解决“到哪儿去”的问题，两者是统一的。只要从这样的视角来备课、上课，数学课就会变得有意思、有意义。

（一）忆旧导新，铺设思维路径

江苏省特级教师许卫兵认为，数学是一门“关系”学。如果我们从“关系”的视角来研究教材内容和教学方法，就会使知识系统化，使教学结构化，从而使学生的思维走向“自能”化。“分数的基本性质”一课就是在旧知的基础上延伸生长而来的。学生在学习小数的性质和商不变规律的时候已经在不经意间应用到了“于变中把握不变”这一思想方法，积累了相关的思维经验。因此，本节课可从商不变的规律和小数的性质入手，让学生认识到“研究数学现象的变化特点，从变中把握不变，是发现规律的重要方法和途径”，为本节课的学习奠定坚实的方法基础。

教师可提出问题：（1） 8÷4 →80÷40 ;（2）24÷6→12÷3。观察这两组算式，你发现了什么？

生：我发现每组算式中被除数和除数都变了，但是商却没变。

生：第一组算式中被除数和除数同时乘以10，第二组算式中被除数和除数同时除以2。

生：我想到了商不变的规律——被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0 除外），商不变。

师：商不变的规律就是我们从“变与不变”的大量除法算式研究中归纳发现的。等式0.1=（）你会填吗？看看什么变了？怎样变的？什么没变？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以写出无数个。

生：虽然小数末尾 0的个数逐个增多，但小数的大小是不变的。

生：我想到的是小数的性质——小数的末尾添上 0 或去掉0，小数的大小不变。

师：小数的性质也是从大量“变与不变”的例子中研究发现的。看来，研究数学现象的变化特点，从变中把握不变，是发现规律的一个重要方法和途径。（板书，变、怎么变、不变）

（二）沟通联系，引发合理猜想

教师通过新旧知识之间的联系，引发学生合理猜想，学生能自然地将学习内容纳入其已有的认知结构体系。

师：整数除法中有商不变的规律，小数中有小数的性质。那么，请同学们结合本单元学习的内容，猜想一下，分数中有可能存在什么规律？你的依据是什么？同桌之间互相说一说。

生：我认为分数中也存在着一定规律。根据分数与除法的关系，我们可以把“被除数”看作“分子”，把“除数”看作“分母”，把“商”看作“分数值”，所以我认为分数中存在的规律与商不变的规律是基本相同的。

生：我认为分数中存在着一定的规律，而且这个规律也一定是在“变与不变”中发现的。

师：同学们，你们抓住了知识之间的联系进行猜想，还想到了运用“变与不变”这一思维方法来研究，真了不起！老师为你们点赞！（板书，猜想）

二、自主探究，理解规律本质

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，学生的学习应该是一个主动的过程，认真听讲，独立思考，动手实践，自主探索，合作交流等是学习数学的重要方式，教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题。数学学习的过程也是动态建构的过程，我们不但要引导学生在数学课堂中形成学科知识结构，还要让课堂具有吸引力，让学生的学习过程充满新奇、疑惑、探索、发现、惊喜、赞叹，使学生经历曲折多变的“探险”过程，建构起数学知识的完整样态，这样的数学学习才会“有意思”“有意义”。

（一）比较大小，形象感知相等

美国心理学家布鲁纳曾经说过：“数学的生命在于探索，教师的任务是让学生亲历探索的过程，在探索中发现，在探索中创新。”因此，本环节教师设计了不同层次的探究内容，通过对分数大小的比较，借助直观图形，引出一组相等分数，让学生初步感知相等的内涵。

师：你能比较[38]、[58]，[12]、[24]的大小吗？说明你的理由。

生：[38]和[58]比较，[58]大于[38]。因为他们都表示把单位“1”平均分成了8份，[38]表示取其中的3份，[58]表示取其中的5份，所以[58]大于[38]。

生：根据分数与除法的关系，[12]=1÷2=0.5，[24]=2÷4=0.5，所以[12]=[24]。

生：可以画图演示，把一张纸平均分成2份，表示其中的1份和把同一张纸平均分成4份，表示其中的2份，大小是相等的，所以[12]=[24]。

师：根据分数与除法的关系来比较分数的大小和借助图形来说理，都是好方法。同学们请看图（如图1）。

通过画图我们可以直观地看出，[12]确实等于[24]。实际上，在数学学习中，数形结合确实是一种有效的學习方法。

（二）实践操作，尝试寻找相等

教师要提供丰富的学习材料，引导学生动手实践，用画一画、折一折、摆一摆、说一说等方法找相等的分数，使学生初步感受其中的“变与不变”，从而对变化规律有浅显的、感性的认识。同时，教师还可引导学生联系生活找相等的分数，或者利用分数与除法的关系找相等的分数，这样能扩大相等分数的研究范围。

师：[12]等于[24]，这只是一个特例吗？在“分数的世界”中，像这样分子、分母不同，但大小相等的分数还有吗？你还能举出这样的例子吗？请看自学提示。

自学提示：请打开学具袋（相同的圆形、正方形、长方形纸片各4张，10根小棒，线段图，彩笔），用画一画、折一折、算一算、写一写等方法，尝试找出“分子、分母不同，但大小相等”的分数。（至少找出两个）你也可以联系生活实际，找一找生活中相等的分数。把你找到的分数写在练习本上，与小组内同学交流，说明为什么相等。

师：通过实践操作，相信你们一定找出了很多相等的分数，谁来说一说？

生：我把圆形（或正方形）的纸片对折，涂上其中的1份，就是[12];然后，我再对折，涂色部分就占圆形的[24];再对折，涂色部分就占圆形的[48]。涂色部分没变，所以分数的大小相等，也就是[12]=[24]=[48]。

师：如果再对折一次，涂色部分就占圆形的几分之几？它们的大小还相等吗？

生：占[816]，它们还是相等的，因为涂色部分没变。

师：如果给你足够大的纸，让你一直折下去，想一想，你会得到多少个相等的分数？

生：我想我会得到无数个相等的分数，因为涂色部分始终没变，所以分数的大小也不变。

（三）借图揭秘，凸显相等本质

教师要抓住学生汇报中对折的方法，借助图形直观演示，揭示性质背后的本质特征，即不同分数之间为什么相等，渗透“等价类”的数学思想。教师通过让学生想象“如果一直对折下去，你会找到多少相等的分数？”渗透“无限”的数学思想，这也为下面怎样“变”才会“不变”以及规律的概括提供了有力的支撑。教师课件演示。（如图2）

图2

师：确实，如果我们无限地对折下去，可以得到无数个相等的分数。借助直观图形，我们来观察一下，这个图形究竟发生了什么变化？

生：我发现无论怎么分，只不过是涂色部分和整体分的份数变多了，但涂色部分的大小是不变的。

生：从图中我们可以看到，将圆形平均分成2份时，涂色部分是1份，当将圆形平均分成4份时，涂色部分就随之变成了2份，当将圆形平均分成8份时，涂色部分就随之变成了4份，分得份数变多了，也就是分子和分母同时变大了，但变化前后他们所表示涂色部分的大小是相等的。

生：因为我们平均分的是整个圆，所以分子和分母是同时分的，份数多了，每一份变小了，但所表示涂色部分的大小是不变的。

师：其实，无论是哪一个分数，只要它所对应图形中的每一份发生了相同的变化，所得到分数的大小就是相等的。

三、整体建构，形成知识体系

学习的过程也是学生认知基础与新知相互协同、整体建构的过程。课堂上，教师要将新知化归旧知，在沟通联系中渗透“类比”的数学思想方法;要利用旧知解释新知，进一步实现知识的迁移和内化，形成知识体系。

师：同学们，你能根据分数与除法的关系以及除法中商不变的性质来说明分数的基本性质吗？

生：分数的分子相当于（被除数），分母相当于（除数）。如[12]可以写成1÷2，这时我们把分子和分母时乘2、乘4，变成了[24]和[48]。其实就相当于把1÷2中的被除数和除数同时乘以2、乘以4，变成2÷4、4÷8，符合商不变规律。

师：我们利用以前学习的商不变的规律推理、解释了分数的基本性质。实际上，商不变的规律与分数的基本性质是可以相互转化的，等我们到了六年级还会认识比的基本性质，到那时你们就会更加深刻地体会到数学知识之间的内在联系，真是“数学很奇妙，关系最重要”。

四、内化延伸，探寻本质特征

本课练习不能只停留在对知识和技能的掌握上，教师还要引导学生通过练习获得一定的感悟、联想和提升。

教师可先设置一个转化题：把[23]和[1024]化成分母是12而大小不变的分数。

[23]=[2×□3×4]=[□12][1024]=[10○□24○□]=[□12]

本题是直接应用分数基本性质的基础题，也是教材中的例题，学生这样理解：要想使分数的大小不变，可以根据分数的基本性质来填写，[23]的分母乘4是12，所以分子2也要同时乘4，即[23]=[812];[1024]的分子、分母同时除以2，变成[512]。

然后，教师可设置“找朋友”游戏题：请在分数中[12];[36];[46];[48];[612];[812];[23]找出[12]和[23]的好朋友，你是怎么找到的？

学生回答“是根据分数的基本性质找到的”之后，教师可引导学生通过讨论交流，形成如下的理解：

[等于[12]的分数][等于[23]的分数][[12]  [36]  [48]  [612]][[23]  [46]  [812]]

通过“找朋友”的游戏，让学生找相等的分数，加深了学生对分数基本性质的理解和运用。

接着，教师可设置“实际应用”题：我们班[25]的同学参加了舞蹈小组，[410]的同学参加了书法小组，哪个小组的人数多？

学生理解为根据分数的基本性质[25]=[410]，所以两个小组的人数一样多。

最后，教师可设置“写数”题：A、B点分别表示哪些数？你能写出多少个？

生：A点既可以用整数2表示，同时也可以用[21]，[42]，[147]，[105]……表示，还可以用2.0，2.00……表示。

生：B点可以用[27]，[414]，[828]……表示。

点B代表（[27]，[414]，[828]……）]

师：分别观察A点和B点所写出的数，你有什么发现？

生：我发现A点用分数或小数表示，都可以写出无数个，用整数表示只有一个;而B点不能用整数或小数表示，只能用分数表示，也有无数个。

师：同学们真是善于观察和总结！确实，数轴上所有的点（0除外）都可以用无限个分数表示，尽管这些分数不同，但是它们表示的是同一个点，所以大小是相等的。我们还发现，数轴上的点，有的能用整数表示，而且只有一个。有的点却不能用整数表示，由此也就产生了分数。

本题将分数和整数的重要区别直观地呈现在学生面前，学生进一步感悟到分数不同于整数的重要特性之一就在于“等价性”，感受“无限”的数学思想，进一步加深理解了分数产生的意义。

（责任编辑：杨强）