巧用等和线解决向量双变量问题代

赵玉 许志城 魏俊潮

摘 要：平面向量的线性运算、向量共线以及以向量为背景的最值问题是近几年高考考查的重点和热点.本文通过探究双变量问题的多种解法，体验等和线定理应用的简洁性、高效性.

關键词：平面向量;等和线定理;双变量

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）25-0095-03

观察三个例题的解法，常规解法是通过相关知识构建出二元二次方程，此时较难求出系数之和，这为解题增添了难度.而采用等和线法则是巧妙地将复杂的求值、最值等一系列代数问题转化为几何问题，将具体的代数式运算转化为距离的比值问题，用统一的数学模型解决向量双变量问题，完美地呈现了数学的数形结合之美，也充分体现了等和线解决双变量问题的简洁性、高效性.

向量等和线以平面向量基本定理为基础，即一个向量可以用一组不共线的向量表示出来，此时两基底的系数共同决定了第三条向量终点的位置，常用的结论是当系数之和为1时，即三条共起点的向量的终点在同一条直线上.由于高考题中很多向量题目都涉及双变量系数和的问题，在遇到这类问题时，解题大体上可分为以下三个步骤：确定等和线值为1的线（即两个基底的终点所在的直线）;平移该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值;从长度的比值或点的位置两个角度，计算最大值和最小值，如此便求得系数和的范围.

而对于求解两个系数的一般线性关系式问题，由于向量可以通过数乘运算将向量进行同向或者反向伸长、压缩，所以所有系数的线性关系式都可以通过改变向量的基底，将所求系数的线性关系式转换为两个新的基底的系数和问题，最后再利用等和线三步骤解决问题.

参考文献：

[1]吴莉娜.寻问题模型之源 挖教材潜在之能[J].数学通报，2021，60（05）：41-45.

[2] 杨瑞强.一道课本例题的探究与拓展——巧用“等和线”妙解向量题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（05）：36-39.

[3] 杨德扬.巧用向量等和线 求解一类系数和问题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2020（12）：38-39.

[责任编辑：李 璟]