矩形折叠造对称 数形转化巧破解

毛丽丽

平移、旋转、轴对称三大平面运动变换是初中数学的重要内容之一. 下面以矩形中的折叠问题为例，总结轴对称问题的规律，提炼解决问题的方法.

原题呈现

例 （2021·湖南·衡阳）如图1，矩形纸片ABCD中，AB = 4，BC = 8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM. 下列结论：

①四边形CMPN是菱形;

②点P与点A重合时，MN = 5;

③△PQM的面积S的取值范围是4 ≤ S ≤ 5.

其中所有正确结论的序号是.

解题分析

分析①：根据矩形性质与折叠性质，首先明确对应相等的边和角，然后根据矩形的判定方法进行判断.

分析②：折痕MN垂直平分CP，尝试画出点P与点A重合时的图形，再利用菱形CMPN的性质解决问题.

分析③：把握运动规律，动中求静，寻求特殊位置，求出△PQM的面积的最大值和最小值，进而确定面积S的取值范围.

精准作答

解答①：如图1.

方法1：由折叠可知CN = PN，CM = PM，∠PNM = ∠CNM，

∵纸片ABCD是矩形，∴PM∥CN，

∴∠PMN = ∠CNM，∴∠PNM = ∠PMN，∴PN = PM，

∴CN = PN = CM = PM，∴四边形CMPN是菱形.

方法2：∵沿直线MN折叠，点C与点P重合，

∴直线MN为对称轴，点C与点P为对应点，∴MN垂直平分CP于Q，

∴CQ = PQ，∠MQP = ∠NQC = 90°.

∵纸片ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMQ = ∠CNQ，

∴△CQN≌△PQM（AAS），∴MQ = NQ，∴四边形CMPN是平行四边形.

∵MN⊥CP，∴四边形CMPN是菱形.

方法3：易知四边形CMPN是平行四边形，

由折叠可知CN = PN，∴四边形CMPN是菱形.

故①正确.

解答②：当点P与点A重合时，如图2.

连接AC，作AC的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，

作点D关于MN的对称点G，则可得到折叠后的四边形MNPG.

在Rt△ABC中，AC = [AB2+BC2=42+82=45]，

设BN = x，则AN = CN = 8 - x，在Rt△ABN中，[42+x2=8-x2]，

解得[x=3]，∴CN = 5.

方法1：利用面积法求解. ∵S[菱形CNPM] = [AB×CN=12AC×MN]，

∴[5×4=12×45×MN]，∴MN = [25].

方法2：利用勾股定理求解.

∵四边形CNPM为菱形，∴NQ = [12]MN，CQ = [12]AC = [25]，

在Rt△CQN中，NQ = [CN2-CQ2=52-（25）2=5]，

∵四邊形CMPN为菱形，∴MN = [25].

故②错误.

解答③：∵S△PQM = [14]S菱形CMPN，而菱形CMPN的面积由CN的长短决定.

如图3，当CN最短时，菱形CMPN的面积最小，此时S△PQM = [14×4×4=4];

如图4，当点P与A点重合时，CN最长，菱形CMPN的面积最大，此时S△PQM = [14×5×4=5].

∴4 ≤ S ≤ 5，故③正确.

因此答案为①③.

解题策略

折叠问题的解决大都是以轴对称图形的性质为切入点，数形转化是解决问题的突破口，“折”为“数”与“形”之间的转化架起桥梁.

1. 全等变换：折叠前后的两个图形全等，即对应边相等、对应角相等. 解题时常借助背景图形提供的角度、线段长，对条件进行转移、表达.

2. 折痕特征：折痕即对称轴，对称轴上的点到对应点的距离相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分.

3. 折叠作图：明确对应点，作对应点连线的垂直平分线（折痕），进而补全图形.

4. 核心计算：在直角三角形中利用勾股定理列方程求解，后续学习还会有新的建立等量的方法.

5. “秘密武器”：折叠必会出现角平分线和等腰三角形，可利用其性质解题.

6. 数学思想：转化思想、方程思想.

能力提升

1. 如图5是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，将矩形纸片沿DE翻折，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，若MF = AB，则∠DAF = °.

2. 如图6，将长为4 cm、宽为2 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长为cm.

参考答案：1. 18 2. [138]

（作者单位：沈阳市于洪区教育研究中心）