一元二次方程中考新题型

徐晓剑

一元二次方程一直是中考命题设计新题型的重要素材，用以考查考生的创新意识和应用能力. 下面举例介绍与一元二次方程相关的中考新题型.

一、作业纠错型

例1 （2021·浙江·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x - 3） = （x - 3）2的过程如下框：

你认为她们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.

分析：小敏在方程两边同除以（x - 3）时，没有考虑x - 3 = 0的情况;小霞在提取公因式时，出现了符号错误.正确运用因式分解法，即可求得方程的解.

解：小敏错误;小霞错误.

正确的解答方法：

移项，得3（x - 3） - （x - 3）2 = 0，

提取公因式，得（x - 3）（3 - x + 3） = 0.

则x - 3 = 0或3 - x + 3 = 0，

解得x1 = 3，x2 = 6.

点评：方程两边不能除以含未知数的代数式，否则可能会导致失根.增根好剔除，失根难寻觅.提取公因式后，要正确处理剩下的部分，谨防犯“符号病”“负号病”.

二、定义运算型

例2 （2021·湖北·荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q. 有[m，p]※[q，n] = mn + pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5] = 2 × 5 + 3 × 4 = 22.若关于x的方程[x2 + 1，x]※[5 - 2k，k] = 0有两个实数根，则k的取值范围是（）.

A. k[<54]且k ≠ 0 B. k [≤54] C. k [≤54]且k ≠ 0 D. k [≥54]

分析：先根据新定义的运算法则，将新运算转化为常规运算，再根据一元二次方程的定义和根的判别式来求解.

解：根据题意得k（x2 + 1） + （5 - 2k）x = 0，

整理得kx2 + （5 - 2k）x + k = 0，

∵方程有两个实数根，∴k ≠ 0且Δ = （5 - 2k）2 - 4k2 ≥ 0，

解得k [≤54]且k ≠ 0.

故选C.

点评：解决新定义问题的关键是将新定义的运算转化为常规运算来处理.

三、规律探索型

例3 （2021·四川·遂宁）下图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第个图形共有210个小球.

分析：根据已知图形中小球的个数，归纳猜想出第n个图形中小球的个数为1 + 2 + 3 + … + n = [nn+12]，再列出一元二次方程求解可得.

解：∵第1个图形中小球的个数为1，

第2个图形中小球的个数为3 = 1 + 2，

第3个图形中小球的个数为6 = 1 + 2 + 3，

第4个图形中小球的个数为10 = 1 + 2 + 3 + 4，

…………

∴第n个图形中小球的个数为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = [nn+12].

當共有210个小球时，[nn+12] = 210，

解得n = 20或-21（不合题意，舍去），

∴第20个图形共有210个小球.

故填20.

点评：本题考查一元二次方程的应用以及小球的变化规律，观察图形中小球个数，找出变化的规律是解题的关键.

（作者单位：江苏省泰兴市实验初级中学）