一元二次方程解法归纳

高冬

一元二次方程的重点与关键是其解法. 解方程时，须从“数”（系数）和“形”（外形）两个角度进行分析，这样才能事半功倍. 下面结合实例对一元二次方程的解法进行归纳.

一、直接开平方法

直接开平方法就是通过直接开平方来求解一元二次方程的方法.

例1 解下列方程：（1）2x2 - 8 = 0;（2）3（x - 1）2 - 6 = 0.

分析：（1）方程的一次项系数为0，通过移项、系数化为1，可以转化为x2 = 4，直接开平方求解;（2）将x - 1看作一个整体，方程可以转化为（x - 1）2 = 2，直接开平方求解.

解：（1）整理，得x2 = 4. 根据平方根的意义，得x1 = 2，x2 =  - 2.

（2）整理，得（x - 1）2 = 2. 根据平方根的意义，得x - 1 = ±[2].

移项，得x1 = 1 + [2]，x2 = 1 - [2].

点评：一般地，当一元二次方程的一次项系数为0，即ax2 + c = 0（ac < 0）或ax2 = c（ac ≥ 0），或方程通过移项等可直接转化为（x + n）2 = p（p ≥ 0）的形式时，用直接开平方法解方程最为简单. 要注意，开平方时，正数的平方根有两个，是一对相反数，不要丢解.

二、配方法

配方法就是通过“配方”，把一元二次方程转化成（x + n）2 = p的形式求解的方法. 如果p > 0，那么方程有两个不相等的实数根， x1 = [-n+p]，x2 = [-n-p];如果p = 0，那么方程有两个相等的实数根， x1 = x2 = -n;如果p < 0，那么方程没有实数根.

例2 解方程4x2 - 8x - 3 = 0.

分析：方程的二次项系数为4，须将二次项的系数化为1.

解：移项，得4x2 - 8x = 3. 二次项系数化为1，得x2 - 2x = [34].

配方，得x2 - 2x + 1 = [34] + 1，则（x - 1）2 = [74].

由此可得x - 1 = ±[72]，则x1 = 1 + [72]，x2 = 1 - [72].

点评：配方法适用于所有的一元二次方程，其中，当二次项系数化为1后，一次项的系数是绝对值较小的偶数时，用配方法更简单. 要注意，配方时，一般是把二次项的系数化为1后，在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.

三、公式法

公式法就是当一元二次方程ax2 + bx + c = 0满足b2 - 4ac ≥ 0时，将各系数直接代入求根公式求解的方法.

例3 解方程x2 - x = 6.

分析：二次项系数为1，一次项系数为奇数，用公式法比较简单.

解：方程化为x2 - x - 6 = 0. 其中a = 1，b = -1，c = -6. ∴[Δ] = b2 - 4ac = （-1）2 - 4 × 1 × （-6） = 25 > 0，方程有两个不相等的实数根x = [--1±252×1=1±52]，即x1 = 3，x2 = -2.

点评：公式法适用于所有的一元二次方程，可以省略配方过程而直接求解. 当一元二次方程的系数是无理数时，或二次项系数化为1后，一次项的系数是奇数时，一般用公式法比较简单. 要注意，用公式法求解时，要先把一元二次方程化为一般形式，将各系数代入公式时应注意符号.

四、因式分解法

因式分解法就是将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，进而求解的方法.

例4 解方程3x（2x + 1） = 2x + 1.

分析：方程两边都有因式2x + 1，可以用因式分解法求解.

解：方程化为3x（2x + 1） - （2x + 1） = 0. 因式分解，得（2x + 1）（3x - 1） = 0.

于是得2x + 1 = 0或3x - 1 = 0，则x1 =  - [12]，x2 = [13].

點评：一般地，当常数项为0，或者一元二次方程两边含有相同的因式时，用因式分解法解方程更简单. 要注意，方程两边不能同时除以含有未知数的因式，以避免丢根.

综上所述，在解一元二次方程时，我们要从“数”和“形”两个角度进行分析，在方法的选择上遵循“从特殊到一般”的原则，即先判断能否用直接开平方法或因式分解法;如果不能，再选择配方法或公式法，对于从“形”上不好辨析的方程，一般可先将方程化为一般形式，再进行分析.

（作者单位：兴城市第三初级中学）