判定三角形全等的常见类型

俞连山

一、平移全等模型

例1 如图1，点A，B，D，E在同一条直线上，AB = DE，AC[?]DF，BC[?]EF. 求证：△ABC≌△DEF.

解析：根据已知条件，利用“ASA”即可证出△ABC≌△DEF.

∵AC[?]DF，∴∠CAB = ∠FDE.

∵BC[?]EF，∴∠CBA = ∠FED.

∵∠CAB = ∠FDE，AB = DE，∠CBA  = ∠FED，

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

反思：可将图1看作是△ABC沿AB方向平移AD的长度得到的全等三角形模型. 常见的平移全等三角形模型的呈现形式有图1、图2两种.

二、翻折全等模型

例2 如图3，已知AB = DC，∠A = ∠D，AC与DB相交于点O. 求证：∠OBC = ∠OCB.

解析：∵∠A = ∠D，∠AOB = ∠DOC，AB = DC，

∴△AOB≌△DOC（AAS），

∴OA = OD，OB = OC，∴AC = DB.

在△ABC与△DCB中，∵AB = DC，∠A = ∠D，AC = DB，

∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠OBC = ∠OCB.

反思：可将图3看作是△AOB和△ABC分别绕着BC的垂直平分线翻折得到的两组全等三角形. 常见的翻折全等三角形模型的呈现形式除图3中的两种外，还有图4中的三种.

三、“手拉手”模型

例3 已知：在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC. 如图5，已知点D在BC边上，∠DAE = 90°，AD = AE，连接CE. 试探究BD与CE的关系.

解析：∵∠EAC + ∠DAC = ∠EAD = 90°，

∠BAD + ∠DAC = ∠BAC = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.

∵AB = AC，∠BAD = ∠CAE，AD = AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD = CE， ∠ACE = ∠ABD = 45°，

∴∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 45° + 45° = 90°，

∴BD⊥CE，且BD = CE.

反思：探究BD与CE的关系，既要考虑数量关系，又要考虑位置关系，谨防漏解. 连接DE，可知△ABC和△ADE是两个等腰三角形，这种由两个顶角相等且共顶点的等腰三角形组成的图形，可称为“手拉手”模型（左手拉左手，右手拉右手）. 常见的“手拉手”全等三角形模型如图6所示.

四、“一线三直角”模型

例4 如图7，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，EF是由线段AB平移得到的，△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，点F恰好在BC边上，点D恰好在AC的延长线上. （1）求证：∠ADE = ∠DFC;（2）求证：CD = BF.

解析：（1）∵∠EDF = 90°，∴∠ADE + ∠ADF = 90°.

∵∠ACB = 90°，∴∠DFC + ∠ADF = 90°，

∴∠ADE  = ∠DFC.

（2）连接AE. 由平移性质得AE[?]BF，AE = BF，

∴∠EAD = ∠ACB = 90°，

∵∠DCF = 180° - ∠ACB = 90°，

∴∠EAD  = ∠DCF.

∵△DEF是等腰三角形，∴DE = DF.

∵∠ADE  = ∠DFC，∴△AED≌△CDF，

∴AE = CD，∴CD = BF.

反思：图7中出现三个直角，它们的直角顶点都在同一条直线AD上，我们称之为“一线三直角”全等三角形模型，其常见的呈现形式有图8中的两种.

五、倍长中线模型

例5 如图9，在△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD是中线，求AD的取值范围.

解析：要求AD的取值范围，需要将AB，AC和AD转化为同一个三角形的三边，再利用三角形三边关系定理来解决.

延长AD到E，使DE = AD，连接BE.

∵AD = DE，∠ADC = ∠EDB，CD = BD，

∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC = BE = 4.

在△ABE中，∵AB - BE < AE < AB + BE，

∴6 - 4 < AE < 6 + 4，即2 < AE < 10，∴1 < AD < 5.

反思：當题目中出现三角形一边上的中线时，可构造倍长中线全等三角形模型，再运用全等三角形知识来解决问题.

分层作业

难度系数★★★解题时间：10分钟

1. 如图10，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°. 连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P. 求证：BP⊥CD. （答案略）

2. 如图11，在△ABC中，∠BAC = 90°，E为边BC上的点，且AB = AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF[?]BC，且AF，EF相交于点F. （1）求证：∠C = ∠BAD;（2）求证：AC = EF. （答案略）

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校）

答案速递

第25页：1.12;25;26;60，61 2. （1）√（2）×

3. （1）AC2 + CE2 = 2x2- 16x + 90

（2）当A，C，E三点共线时，AC + CE的值最小，最短距离为10.

（3）如右图，最小值为13.

第31页： 8. [（a2-b2）（a2+b2）（|a|>|b|） ，0（|a|=|b|） ，（b2-a2）（a2+b2）（|a|<|b|）]

第35页：1. C    2. 90°