二次根式中的数学思想

杨文金

一、数形结合思想

将数量关系与几何图形的性质结合起来进行分析，并通过数的運算去寻找图形之间的联系，同时结合题中所给的已知条件去构造图形，或结合已知图形去寻找数量之间的关系，这种解决问题的思想即为“数形结合”思想.

例1 如图1，实数[-5]，[15]，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D. 若m为整数，则m的值为.

解析：先求出点D表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可.

∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为[15]，

∴点D表示的数为[-15].

∵点A表示[-5]，点C位于A，D两点之间，

∴[-15

∵m为整数，∴[m=-3]. 故应填[-3].

二、从“特殊到一般”，又从“一般到特殊”的思想

从特殊去探索一般，再通过一般去研究特殊，这是数学中常用的重要思维方法. 在探索二次根式的性质过程中，就是运用“从特殊到一般”的思想方法，从具体例子猜想，并归纳二次根式的性质.

例2 观察下列等式：x1 = [1+112+122] = [32] = 1 + [11×2];

x2 = [1+122+132] = [76] = 1 + [12×3];x3 = [1+132+142] = [1312] = 1 + [13×4];…

根据以上规律，计算x1 + x2 + x3 + … + x2020 - 2021 = .

解析：x1 + x2 + x3 + … + x2020 - 2021 = 1 + [11×2] + 1 + [12×3] + 1 + [13×4] + … + 1 + [12020×2021] - 2021= 2020 + 1 - [12] + [12] - [13] + [13] - [14] + … + [12020] - [12021] - 2021 =  - [12021]. 故应填 - [12021].

三、转化思想

在研究和解决数学问题时，经常将复杂问题转化成简单问题，将疑难问题转化成容易问题，将未解决的问题转化成已解决的问题.

例3 设[6-10]的整数部分为[a]，小数部分为[b]，则[2a+10b]的值是（）.

A. 6      B. [210]   C. 12   D. [910]

解析：首先根据[10]的整数部分可确定[a]的值，进而确定[b]的值，然后将[a]与[b]的值代入计算即可得到所求代数式的值.

易得9 < 10 < 16，所以[9<10<16]，即[3<10<4]，∴[2<6-10<3]，

∴[6-10]的整数部分[a=2]，∴小数部分[b=6-10-2=4-10]，

∴[2a+10b=2×2+104-10=4+104-10=6]. 故选A.

四、分类讨论思想

有的数学问题可能有多种情况出现，在未具体指明是哪种情况时，需要对各种情况分类考虑，以保证解答完整准确，做到不重不漏.

例4 已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，则此等腰三角形的周长为（）.

A. 8       B. 6或8   C. 7        D. 7或8

解析：∵[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，∴[2a-3b+5=0，2a+3b-13=0，]解得[a=2，b=3.]

当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，∵2 + 2 > 3，∴符合题意，∴周长为7;

当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，∵2 + 3 > 3，∴符合题意，∴周长为8.

此等腰三角形的周长为7或8. 故选D.

五、整体思想

整体思想是从整体角度思考问题，即将局部放在整体中观察、分析，探究并解决问题.

例5 若x = [2] + 1，则代数式x2 - 2x + 2的值为（）.

A. 7            B. 4         C. 3                D. 3 - [2]

解析：∵x = [2] + 1，∴x - 1 = [2]，∴（x - 1）2 = 2，即x2 - 2x + 1 = 2，

∴x2 - 2x = 1，∴x2 - 2x + 2 = 3. 故选C.