勾股定理的史与今

王雪洁

勾股定理的历史可分为三个部分：发现勾股数、发现直角三角形中边长的关系、勾股定理的证明. 至今，勾股定理约有500种证法. 与勾股定理相关的知识常见于中考试卷中.

一、勾股数

数学史话：勾股数的发现时间较早，在中国的《周髀算经》、古埃及的“纸草书”中都记述了3，4，5这组勾股数，而巴比伦泥板上最大的一组勾股数是13 500，12 709，18 541.

记忆技巧：勾股数的正整数倍也是勾股数. 以奇数开头的勾股数，第一个数的平方等于后两个连续数之和，如52 = 12 + 13.

中考面孔：考查勾股数的各种变形.

二、發现直角三角形中边长的关系a2 + b2 = c2及应用

数学史话：有一次，毕达哥拉斯去吃大餐，餐厅地面上密铺着正方形的大理石地砖. 大餐迟迟不上桌，他就拿起画笔，蹲在地上，选一块地砖，以其对角线为边画了一个正方形，发现这个正方形的面积恰好等于两块地砖的面积和. 他很好奇，于是又以两块地砖拼成的矩形的对角线为边作另一个正方形，他发现这个正方形的面积等于5块地砖的面积，也就是以两条边分别为边所作的正方形面积之和. 至此，毕达哥拉斯做出假设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边的平方和.

中考面孔：求最短距离，运用“将军饮马模型”，在网格中求线段长，解直角三角形，这些题型都会用到勾股定理.

三、勾股定理的证明

数学史话：东汉末至三国时代数学家赵爽创制了一幅图，利用数形结合法证明了勾股定理. 这幅图被称为“赵爽弦图”. 如图2，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为[ab2];中间的小正方形边长为b - a，则面积为（b - a）2. 利用同一个图形的面积的不同表达形式，可得4 × [ab2] + （b - a）2 = c2，则a2 + b2 = c2.

中考面孔：以赵爽弦图为基础衍生出来的“一线三直角”模型，体现了“化斜为直”的数学思想. 在平面直角坐标系的学习中，应用十分广泛.

勾股定理在各国有着不同的名称，我国以边为名，直击数学本质. 这种真理至上的思考方式正是数学的魅力所在. 愿同学们在今后的学习过程中，能够仔细体会数学严谨之美、创意之美、探索之美！

分层作业

难度系数：★★解题时间：2分钟

1. 勾股数填空： 5，，13;7，24，;10，24，;11，，.

2. 判断对错：（1）如果三角形的三条边长满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. （）

（2）如果一个三角形是直角三角形，那么一定有a2 + b2 = c2. （）

（答案见第38页）

难度系数：★★★解题时间：6分钟

3. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的将军饮马问题. 如图3，点C为线段BD 上一动点，分别过点B，D，作AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC，EC，已知 AB = 5， DE = 1，BD = 8，设 CD = x，

（1）用含 x 的代数式表示 AC2 + CE2.

（2）点 C 满足什么条件时，AC + CE的值最小？你能求出最短距离吗？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式[x2+4+（12-x）2+9]的最小值.

（答案见第38页）

（作者单位：沈阳市第一四五中学）