转变教学策略,突破几何论证的“瓶颈”

任亚男

[摘  要] 几何推理能力是数学学习的重要内容，也是大部分学生的难点和“痛点”. 教师应采取多元教学策略，从归纳比较、变式训练和渗透转化思想三个角度，助力学生突破难点，提升几何论证推理能力.

[关键词] 几何推理;归纳;转化

几何是有关图形和空间结构的一项知识，与代数同属于初中数学中的重要内容，几何思想在数学中的应用非常广泛. 但是几何却也是很多初中学生的“噩梦”，很多同学对之望而却步，看到几何证明题就头脑发懵，不知道突破口在哪里. 在教学中教师也不难发现，很多数学不错的同学，在开始学习几何之后成绩就开始直线滑坡，教师也束手无策，难以解决. 如何帮助学生突破几何证明题的难点，是笔者在教学中一直思考的问题. 本文拟从教学策略的角度，谈一谈在日常教学中教师可以采取的教学策略，帮助学生一起突破几何证明的“瓶颈”.

比较归纳知识，奠定论证基础

几何证明题的基础是学生对几何的基础知识掌握要全面，运用知识要灵活，理解知識与知识之间的逻辑联系，才能在证明时游刃有余. 因此在教学上，教师要经常引导学生梳理知识体系，进行知识归纳，为几何证明题奠定知识基础.

1. 构建知识体系

几何知识比较繁杂，教师在教学中要经常引导学生梳理知识，构建较为完整的知识体系，在证明时可以活学活用.

案例1  复习梯形.

在教学设计时可以通过设计问题串的方式帮助学生完善知识结构.

（1）什么样的四边形是梯形？

（2）怎样让这个梯形变成等腰梯形？有几种变法？

（3）怎样的梯形是直角梯形？

（4）在等腰梯形ABCD中，AD与BC平行，你能得出什么结论呢？连接对角线AC，BD，你又能得出什么结论？

（5）若过点D作AC的平行线，与BC的延长线相交于点E，DE与BD是什么关系呢？

在引导学生回答问题的过程中，教师进行板书梳理知识，在板书中呈现知识体系（如图1所示），也可以通过图形来表示概念之间的关系（如图2所示）. 总之，教师进行示范引导如何归纳知识，在此基础上也可以由学生完成，教师进行指导，有了完整的知识体系，学生的证明才有了基础.

2. 性质判定和结论比较

几何证明中涉及性质判定和证明的重要结论，这些对学生来说容易混淆不清，影响证明题的解决. 在教学中要注意引导学生进行性质和判定的比较，如平行四边形的性质和判定，看似差不多的表述，实则是两个角度的正反运用，教师要注意进行比较和区分，帮助学生确定其使用的情境和因果关系的区别，在使用时学生才能快速做出甄别.

几何证明中的重要结论也是证明过程中需要使用的重要知识，是解决新的问题的桥梁，因此既要进行归纳，又要区别比较. 图3涉及的几种图形既有联系又有区别，通过比较之后学生会更加扎实地掌握结论，在进行几何证明时判断将更加快速，反应更加迅捷.

在教学中通过对知识的归纳和比较，不仅帮助学生梳理了知识，还能培养学生归纳比较和推理分析的能力，逐渐形成几何思想，为解决几何证明题助力.

加强变式练习，提升论证能力

几何证明题的难点之一就在于图形的千变万化，学生难以从中找到规律，因此我们可以加强变式训练，拓展学生思维的发散性和逻辑性，使学生能够适应几何证明题的千变万化. 比如可以尝试将一道题的结论和条件不换，或者改变结论，增减条件等等，让学生感受虽然看似变化的试题，实则运用的推理方法有其共同点，突破学生的心理障碍.

1. 变条件

案例2  复习梯形.

原题：如图4所示 ，在等腰梯形ABCD中，AD与BC平行，如果∠B为60°，求∠A，∠C和∠D的度数.

变式1：如图4所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD与BC平行，如果∠B为60°，BC=12，AB=6，那么AD的长度为多少？

变式2：如图5所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD与BC平行，如果对角线AC与BD垂直，BC=12，AD=6，求出梯形ABCD的面积.

本例中首先通过原题复习了梯形的边和角的相关性质，通过添加条件引出变式训练，帮助学生复习了三角形、四边形的相关知识点，再通过梯形的辅助线，将梯形的面积进行转化，进而复习了梯形的周长、面积等知识点. 通过这样的变式训练，在一道题的基础上复习了梯形及其相关的一系列知识，复习全面，而且学生通过这样的变式训练，对知识点之间和图形之间的关系有了比较清晰的认识，理清了几何证明题的逻辑关系.

2. 变结论

案例3  复习等腰梯形的判定.

如图6所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，直线l过线段AC上的一点Q，与线段AB相交于点D，CE与AB平行，与直线l相交于点E，直线l的旋转角为α，当α满足什么条件，四边形EDBC是等腰梯形？α满足什么条件，四边形EDBC是直角梯形？

本例通过设置不同的结论引导学生分析条件的改变，通过动态的展示帮助学生理解在条件改变的情况下，结论也随之改变，有效复习了不同梯形的判定方法，提升了学生几何推理能力.

3. 变图形

几何论证题的图形千变万化，但是不同的图形之间也有一定的内在联系，教师可以通过设置阶梯式的问题帮助学生找到不同图形之间的联系，使学生能透过现象看本质，抓住核心，突破几何论证题的难点. 也可以将同类图形放在一起进行解题和比较，加深学生的印象，明白万变不离其宗，抓住关键的道理.

案例4  判断位置关系.

原题：如图7所示，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，线段AC和BD的中点分别是点E和F. 证明BE和DE相等，并判断EF与BD的位置关系，说一说你的理由.

变式：与“原题”的条件一致，EF与BD的位置关系有什么变化吗（如图8所示）？说一说你的理由.

几何证明题对于学生的难点就在于稍微变换图形或者条件，学生就难以从中找到突破口，无法联系自己已知的条件，但是搞“题海”战术，往往是治标不治本，不能从根本上解决问题. 这就要求教师要在设计上下功法，本例中看似没有关系的两道题，实则图形上却有着深刻的内在联系，通过这样的组合训练，就能提高学生思维的灵活性和发散性，让解题变得更加容易，学习变得更加轻松.

渗透转化思想，指明论证方向

几何证明题种类丰富，但是几何证明的知识却是固定不变的，关键是如何在未知和已知之间找到连接点，让证明找到出口. 那么数学转化思想就起到至关重要的作用，将未知的问题转化为已会的方法进行解答，将复杂的问题转化为简单的步骤来解决，渗透转化思想是教學策略的重要一环. 常见的转化就有把不规则的图形转化为规则图形，把难度较高的四边形、梯形转化为难度较低的平行四边形或者三角形等. 如复习梯形时就可以通过添加辅助线等将梯形转化成平行四边形或者三角形进行计算和证明.

几何证明题的转化通常都是转化为基本图形进行解决，教学中要注意对基本图形进行归纳和整理，让学生熟知，并能快速反应. 当然仅仅知道如何分离出基本图形还不足以使学生的高阶思维得到拓展，还要学会在复杂图形中构造基本图形.

案例5  反比例函数.

如图9所示，点A，B分别在反比例函数y=（x>0），y=-（x>0）的图像上，并且OA与OB垂直，那么tan∠ABO为多少？

这是一道复杂的综合题，既涉及几何知识，又有函数知识，需要学生能善于使用转化思想，转化成相似三角形（如图10所示）从而求出答案，看似异常复杂难以解决的试题最后迎刃而解，就恰恰是巧妙使用了转化的思想. 转化思想在数学问题当中使用非常广泛，如果使用得当，会发现很多题目的奥妙之处，但是很多学生却常常苦于不会使用转化的思想. 究其原因是在于知识掌握得不扎实以及平时的思维训练不够，那么教师不能听之任之，要精心设计教学环节，在例题的讲解中注意综合联系，不断归纳总结和示范比较，经过不断的训练，渗透转化思想，学生的解题能力一定能获得更大的提高.

总之，不积跬步无以至千里，再难的路只要下定决心就一定能有所开拓. 只要教师在教学的点点滴滴中注意关注和渗透，夯实基础知识，梳理知识结构，精心设计题型，讲解方法，渗透思想，就一定能在几何证明题的教学中取得突破，为学生的进一步长期学习打下基础.