立足“三会”，学会从数学的角度观察与思考问题

鄢学杰

［摘  要］ 《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出要引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界（简称“三会”）. 想要发展学生的数学核心素养，先要达成“三会”目标. 如何立足“三会”，培养学生从数学的角度观察与思考问题的能力呢？文章以几道例题教学为例展开分析，以抛砖引玉.

［关键词］ 三会；数学眼光；数学思维；数学语言

新课标背景下的高中数学教学，在“以生为本”的基础上，倡导“立德树人”教育教学理念，以期培养学生的“三会”能力. 史宁中教授在新课标的基础上进一步说明了“三会”，即用数学眼光观察世界的本质就是数学抽象，数学思维实则为逻辑推理过程，而数学语言的本质就是我们所熟悉的数学模型［1］. 想要培养学生的“三会”能力，实则培养学生的数学抽象、数学推理与数学建模能力.

[?] 用数学眼光观察世界

什么是数学眼光？数学眼光是指人类从客观的事物或现象中捕捉到数学特征或观点的一种能力. 想要发展这种能力，离不开对现实事物的观察、分析、比较、猜想与验证等过程，这就需要带领学生从客观事物或现象的本质出发，让学生基于数学的角度提出问题，并将这些问题数量化后用数学语言加以描述. 因此，这是一个数学抽象与数学创造的过程，体现了学生的创造意识.

如超市中大部分大瓶牛奶的包装盒都是长方形，而大部分饮料的包装盒却是圆柱形，这是为什么呢？

超市是学生熟悉的场所，学生对于牛奶与饮料都非常熟悉，却鲜有学生思考过这个问题. 若将这个问题引入到课堂中，不仅体现了生活与数学的联系，还为学生提供了数学抽象的机会，让学生学会用数学眼光观察身边的事物.

就以上这个问题，学生经过合作交流，普遍认为存在以下几种可能：①人们习惯直接喝饮料，圆柱形包装手感更舒适一些，同时圆柱形容器也容易制造，符合优化原则；②大部分人习惯将牛奶倒出来喝，长方形的包装便于倾倒，同时从超市物品排列的角度来看，长方形摆放在一起能节约货架空间.

从以上角度分析这个生活问题，成功激发学生探索欲的同时，也鼓励学生对生活常见的现象进行合理抽象和推导，用数学思想方法提升了认知技能. 因此，这种教学方式的应用，不仅让学生切身感知到数学源于生活的真谛，还有效启发了学生用数学眼光观察世界的思维.

核心素养的培养离不开实践操作、观察与思考，这不仅是培养学生形成理性思维与批判能力的主要方式，还是促使学生形成用数学眼光观察世界的重要手段. 学生亲历动手操作，常常能有效激活自身原有的认知经验，通过知识的正迁移解决问题.

例1 操作要求：如图1所示，准备圆形纸张，并于纸张上非圆心的位置任取一点F，折叠这张纸片，使得圆周过点F，而后展开纸片得到折痕l（可在纸上画出）. 重复这种折叠方法，可得大量折痕，观察折痕所围成的轮廓（见图2），要求学生感知最终得到了什么曲线.

学生实际操作过程：

（1）取出圆形纸张，设圆心为A，r为半径，取圆内非圆心的点B；

（2）折叠圆形纸张，让折叠后的圆弧过点B，重复此折叠步骤，获得大量折痕（画出）；

（3）观察折痕所围成的曲线，借助几何画板操作，视觉效果更好.

通过以上实践操作，学生经过合作交流，获得以下猜想：①折痕围成一个分别以点A，B为焦点，r为长轴长的椭圆；②所得椭圆的焦点（一个）关于椭圆任意切线的对称点构成圆，椭圆的另一个焦点为此圆的圆心，椭圆的长轴长为该圆的半径.

以上均为猜想，想要验证猜想是否合理，必须经过严谨的证明. 因此，学生经过讨论，提出了以下证明过程：

如图3所示，第一步，证明椭圆上的任意一点都在某条折痕上.

假设点H是椭圆上的任意一点，将AH连接且延长后与圆相交于点D，再连接BD. 设FG为线段BD的垂直平分线，那么FG就是一条折痕. 根据点H位于椭圆上的条件，可知HB+HA=r，同时HD+HA=AD=r，那么HB=HD，由此可确定点H位于线段BD的垂直平分线上，也就是点H位于折痕FG上.

第二步，证明任意一条折痕均与椭圆为相切的关系，实则证明FG和椭圆相切于点H.

若点J是FG上非点H的任意一点，因为JB+JA=JD+JA>DA=r，也就是点J位于椭圆外部，因此FG和椭圆的交点只有H，也可理解为FG和椭圆相切于点H.

值得注意的是：如果点B与点A为重合的关系，那么所有折痕围成的曲线轮廓则是一个圆.

学生自主操作、观察、分析与探索的过程，实则为学生用数学眼光分析世界的过程. 中学数学教学中，引导学生用数学眼光观察世界，一般都建立在学生学情与教学内容的特点上，通过教师创设合适的问题情境，引导学生根据情境深入探索，让学生逐渐形成用数学眼光观察世界的能力与科学严谨的探索习惯，为形成高质量的数学思维奠定基础.

[?] 用数学思维分析世界

数学是思维的体操，数学思维不仅贯穿数学学习的整个生涯，还对学生的终身发展具有深远的影响. 想要学好数学，就要学会用数学观点去分析与思考生活中的现实问题，通过操作、观察、比较、抽象、猜想与概括等手段，并应用各种推理方法准确地阐述自己对客观现象的观点与看法，辨明其中的数学关系，从而更加准确地认识客观世界.

波利亚认为：生活是数学思维的起点，缺乏生活实际的思维是空洞且无依靠的，如果切断生活与数学的联系，那么数学思维则无处发展［2］. 生活实际能让学生直观形象地感知数学知识的抽象与推理，而抽象与推理又是数学思维的发展基础. 因此，教师应结合学生的认知经验，从生活实际出发，创设一些丰富的教学情境，让学生的思维从感性认识提升到理性理解.

例2 如图4所示，某海湾的半岛上有一个停机坪，若跑道AB的长度是4.5千米，海岸线l（将海岸线视为直线）与跑道AB所在的直线形成60°的夹角，已知点B为跑道AB与海岸线距離最近的点，点B与海岸线的距离BC的长度为4千米，且点D是海湾一侧海岸线CT上的一点. 假设CD=x千米，点D对跑道AB的视角是θ.

问题：（1）将tanθ表示为x的函数；

（2）若θ取最大值，则点D的位置是什么？

分析：（1）观察图4，可知θ=∠ADC-∠BDC，为求tanθ的值，可从tan∠ADC与tan∠BDC进行分析. 显然，tan∠BDC=，接下来就是求tan∠ADC的值. 作AE⊥CD，E为垂足，不难发现，随着x的取值变化，点E的位置会发生变化，点E的位置既可能位于线段CD上，也可能位于线段CD外（见图5），且∠ADC存在锐角或钝角两种情况. 因此，此处需要进行分类讨论.

作AF⊥CB与CB的延长线相交于点F，根据题意，可得AF=，此为分类讨论的分界点. 通过先分后合，可得tanθ=（x>0）.

（2）求最大值的问题，可从以下两种方法出发：第一种，因为分子为一次式，分母为二次式，因此可将分子中的“x+4”视为一个整体，将分子、分母同时除以“x+4”，而后通过基本不等式求解；第二种，通过导数法获得最大值. 最终不难获得：位于海湾一侧的海岸线CT上与点C距离6千米的点D处，该跑道的视角最大.

对于学生而言，本题的教育价值远远高于获得本题的结论，更重要的是学生的思维完整地经历了从生活实际抽象到数学问题并顺利解决问题的过程. 这种思维经验无法通过教师的说教而获得，必须通过学生的亲身体验与积累而来，学生的思考能力也随着思维的发展而发展，直至形成用数学思维思考世界的能力.

学生掌握用数学思维思考世界的能力，从本质上来说，就是能够精确地计算，定量地分析现实世界，并通过符号化或几何直观等具体抽象问题的共同特征，探索推导出解决一般问题的途径. 学生一旦掌握了这种能力，则能在数据搜集、整理与分析中综合判断生活问题，为更好地推动社会发展奠定基础.

当然，实际教学中，教师对“数学思维”的理解更应深刻、全面、合理一些. 古往今來，任何数学知识的形成与发展都不是孤立的，各种知识的形成都经历了漫长的过程. 在此过程中，有很多知识的发展是相辅相成、互相关联的. 正是这种互相关联的存在，才让数学学科成为一门系统性的学科，呈现在我们面前的是一种结构化的形式.

鉴于此，教师引导学生用数学思维思考世界时，应对知识进行纵横双向联系与对比，引导学生从宏观的角度发现知识的结构性与系统性，从而建构完整、条理清晰的认知结构. 简而言之，就是能高屋建瓴地认识数学这门学科，能站到一定的高度去学习数学，以凸显每个知识的重要价值.

[?] 用数学语言表达世界

数学语言包括文字语言、图形语言与符号语言三大类，不论哪一类数学语言都具有简洁性、严谨性、抽象性、通用性等特征. 数学语言作为数学思维的载体，是用来进行数学交流的主要工具. 教学中，教师可引导学生用数学语言交流自己的想法，鼓励学生通过叙述法表达数学思维过程，并用合适的语言表达对问题的看法、疑惑或解决方法等. 这不仅是锻炼学生数学语言表征能力的过程，也是促进师生、生生之间进行交流学习，获得体验与感悟的过程.

新课标明确提出，操作实践、自主探究、合作交流为数学学习的基本形式. 若要实现有效交流，需建立在对数学语言深刻理解与灵活应用上.

例3 已知三个平面为两两相交的关系，据此可得三条线，求证：三条线相交于一点或互相平行.

分析：此为一道典型的文字语言命题，如何实现“文字语言—图形语言—符号语言”的转化呢？

三个平面两两相交，可转化成“α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c”；待求结论可转化为“求证：a，b，c相交于一点P或a∥b∥c”.

究竟该从什么角度进行证明呢？

如图6所示，因为α∩β=a，β∩γ=b，所以直线a，b?平面β，则a∩b=P或a∥b.

如果a∩b=P，那么P∈a，α∩β=a，所以P∈α. 同理，因为P∈γ，所以P∈γ∩α=c，也就是a，b，c相交于点P.

如果a∥b，b?γ，a?γ，可得a∥γ. 又a?β，γ∩α=c，所以a∥c. 由此可确定a∥b∥c.

证明该命题，学生将文字语言成功地转化为图形语言与符号语言，反映了学生良好的表达能力与逻辑思维能力. 解题中，遇到用数学语言表达的问题，一方面能让学生拥有更多交流的机会，让学生的逻辑思维变得更加清晰，语言表达得更加准确，这对发展学生的理解能力具有直接影响；另一方面，可培养学生的符号意识，当学生再遇到生活实际问题时，能自然而然地引进数学符号理解与表达问题，形成用符号程序解决问题的能力.

用数学语言表达世界的能力，体现在从直观形象向抽象概括的发展过程上，以及自然语言过渡到数学语言的过程，是静态描述转向动态描述的必经之路. 经过长期训练，学生能从多维度发展数学表达能力，提高交流效率，为更好地解决问题奠定基础.

苏霍姆林斯基认为：每个人的内心深处都期望自己是一个发现者、研究者、探索者［3］. 用数学眼光观察世界，并用数学思维思考世界，从本质上来说就是用数学语言完整地表达事物所处的状态、形态、关系与过程，通过合理地判断、运算与推导等获得结论，也就是将数学作为一种“工具”来研究生活现实问题的体现.

参考文献：

［1］  史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理［J］. 数学教育学报，2016，25（04）：1-16.

［2］  G·波利亚. 数学的发现［M］. 刘景麟，曹之江，邹清莲，译. 北京：科学出版社，2006.

［3］  苏霍姆林斯基. 苏霍姆林斯基的教育箴言［M］. 朱永新，译. 北京：教育科学出版社，2017.