从“学会”到“会学”

刘永鑫

一、关注学法：怎样研究规律

【教学片段一】

师：要想学习2、5的倍数特征，我们应该怎样去学呢？

生1：找出2、5倍数的特征有什么规律。

师：你的意思是先找出2、5的倍数，我们先以一个数为例，比如5，找5的倍数特征。我们手中有一个表格，1～100的表格，它就叫“百数表”。想研究5的倍数，你想怎么做？

生2：先从表里找出5的倍数。

师：找出来后，下一步你要干什么？

生3：把5和2的倍数找出来后，再摸索它们的规律。

师：他用了一个很好的词——摸索。我们慢慢地去发现它的规律，摸索一下5的倍数有什么规律。

【赏析】上课伊始，孙老师以一个大问题驱动学生进行思考，渗透研究学习的方法，把探究的主动权交给学生，让学生决定研究的方向——寻找、观察、发现。简单质朴的引入，却能为后续更深层次的研究做好铺垫。

二、探索规律：5的倍数特征是什么

【教学片段二】

师：说一说我们找到5的倍数都有哪些？

生1：5的倍数有第一排的第5个，就是5，然后10、15……

师：谁能用数学语言、简单的话说一下。

生2：依次加5。

师：怎样才能把5的倍数一下都说全了？

生3：第5列和第10列的全部。

师：他用了数学语言中的一个词“列”，5的那一列和10的那一列都是5的倍数。接下来该进行我们的第二步——找规律，看看你们都找到了什么规律。刚才有同学说依次加5，5到10，45到50，我们横着看，从小加到大是依次加5，当我们的角度不同的时候带来的结果就会不同。还有没有其他的规律？

生4：竖着都是加10。

师：他还关注到了每次加10，5到15……受这个启发，如果我们跳着看呢？跳一个每次加10，跳两个呢？加20，还有不同的吗？

生5：第5列个位都是5，第10列个位都是0。

师：同学们发现了5的倍数具有这样的特征，想一想我们都发现了什么特征呢？横着看加5，竖着看加10，个位都是5或者是0。我们把5的特征研究完了。考考你，1037是不是5的倍数？

生6：不是，它跟我们发现的规律不同，个位不是5或0。

师：她应用了我们发现的规律。为什么不应用依次加5的规律呢？

师：如果我们一直加5是不是也能试出来？只是太麻烦了，数学要追求简洁。125是不是5的倍数？

生7：是，因为个位是5。

师：你为什么不用加10加10的规律判断呢？从百数表中95开始加，加到125，和刚才加5的规律来判断哪个更简单呀？

【赏析】5的倍数易找但规律多，在探索过程中孙老师适时地介入，进行追问、提示，帮助学生开展对5的倍数规律的探索。孙老师追问学生怎样能把5的倍数说全，引导学生从不同的角度去观察5的倍数规律，得到了几种不同思维层次的规律，再以各种正、反例引导他们发现更为一般、本质的规律。

三、由表及里：从是什么到为什么

【教学片段三】

师：我们发现了5的倍数特征，你们都同意吗？我不同意！刚才我们的研究是借助百数表，只研究了100个数，100个数后面的你们研究了吗？我只举了2个100后面的数，所以现在我们说5的倍数特征是个位是0或5，只能说是100以内的，100以外的你们看都没看。那我们要追问自己一句——都是这样吗？后面这些数都这样吗？得自己举一些例子试一试。

生1：我举的例子是1245，用它除以5，还没算完。

师：1245除以5得249，正好除尽，是5的倍数。

生2：110是5的倍数也是2的倍数。

师：怎么判断的？

生2：个位是0，110÷5=22，是5的倍数。

生3：12027不是5的倍数。

师：要验证5的倍数特征，不仅仅要验证是5的倍数的那些数，还要验证反例，那现在我们可以认可这个结论了，有不同意的吗？我不同意！

生4：我们只举了一些例子，還有其他的数。

师：当我们不能把所有的数都举完的情况下，怎样能够验证呢？研究数学得到一个结论后，要追问自己一句为什么。这一个数前面有这么多位你们都不看，为什么就看个位就完了？同学之间可以商量一下！

生5：因为前面的数除以5没有余数，再加上个位上的5或0都是5的倍数。

师：还有别的方法吗？

生6：110，前面的数已经是整十了，不用看。

师：他的想法是对的，比如3□，不管个位，先看30。1个十、2个十、3个十是5的倍数，这个时候我们该看个位了，这时个位是1的数是5的倍数吗？2、3、4、5呢？可以了，因为前面是5的倍数，后面也是5的倍数，合起来肯定是5的倍数，6、7、8、9、10呢？当满10向前进1，也是整十，就是5的倍数了。

【赏析】第一个“不同意”，追问5的倍数都是这样吗？从百数表内到百数表外，并且验证时需用到正例和反例，初步感知合情推理中的不完全归纳法。第二个“不同意”，在不能把数穷举之下，如何验证？从合情推理导向感知演绎推理，整十数都是5的倍数，所以只需要看个位即可。孙老师引导学生发现5的倍数特征后，还进一步追根溯源，让学生经历完整的观察—猜想—举例—验证的过程，知其然且知其所以然。

四、方法迁移：2的倍数有什么特征

【教学片段四】

师：2的倍数特征应该怎样研究？回忆一下刚才研究5的倍数特征时，我们应该干什么？第一步，找出2的倍数，用○圈起来。第二步，发现了什么？第三步，尝试100以外的数对不对，都这样吗？第四步，为什么？

生1：2的倍数有2、4、6……

师：竖着说更简单一点，2的这一列，还有……接下来第二步，你发现了什么？

生2：2的倍数个位都是2、4、6、8、0。

师：第三步该做什么？

生3：举些例子去证明它。

生4：192。

师：是不是2的倍数，算了吗？结果是？

……

师：为什么我们只看个位？

生5：因为加上后面2、4、6、8、0都能除完。

师：看我们余数加上2、4、6、8、0都能被2整除。那我们先看30，1个十是2的倍数，2个十、3个十呢？7个十，多少个十都是2的倍数了，所以这时候我们就看个位了，个位上是2、4、6、8、0的就是2的倍数了。个位是几就不是2的倍数了？我们将是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。观察2和5的倍数时，我们有一列数都圈了，哪列都圈了？

【赏析】从扶着走到放手让学生自己走，教会学生研究规律的方法，孙老师让学生从“学会”走向“会学”。学习的本质不在于学生学会了某项知识，重点在于学生学会方法后，能迁移运用解决同类问题。研究2的倍数特征，圈出2的倍数—发现了什么—都这样吗—为什么，四部曲让学生自然而然地探索出2的倍数特征，为后续学习较难的3的倍数特征打下坚实的基础。在探索过程中，师生对话、生生互辩，不断质疑、辨析、完善，学生不仅获得了数学知识，积累了数学活动经验，还发展了思维能力。

五、题组练习：能确定吗

【教学片段五】

练习：比比谁的反应快！5的倍数女生举手，2的倍数男生举手！

25、52、7□6、55□

【赏析】练习巩固表面虽只有一题，却隐含着题组：①25和52都用到数字2和5，为什么结果不一样了？②7□6，中間空一个数，还能确定它具备2的倍数特征吗？③55□，个位是什么数时，原数具备2或5的倍数特征？个位是几的时候既是2的倍数又是5的倍数？练习贵于精而不在于多，孙老师只用了一题就为学生搭建了思维碰撞的平台，激发学生思考的兴趣，让思考真正发生。

孙老师的这一节课不仅教会学生要思考，还教会了学生如何研究数学。数学探究活动的教学不仅要让学生获得数学知识、积累数学活动经验，同时也应注重学生理性思维能力的培养。本节课，从知识输入，到思维产出，学生充分体验了研究数学的完整过程，真正从“学会”走向“会学”，使得学生获得深度学习的能力。

（作者单位：广东省东莞松山湖中心小学 责任编辑：王彬）