数学课程与教学的“历史意识”：内涵、价值及增强路径

【摘 要】数学课程与教学的“历史意识”，不仅是在数学课程与教学中渗透、融入、整合、运用数学史料的意识，更是超越狭隘的个体时空，以学习者数学学习境况为出发点，以相关数学史料为纽带，以学习者数学核心素养发展为指向，建立起过去、现在与未来的紧密联系，从而真正将史料形态之数学转化为教育形态之数学的意识。数学课程与教学的“历史意识”增强路径主要包括：在政策层面进一步加强教师培训指导课程标准等的操作性指导；在理论层面确保教师职前、入职、在职三个阶段的一体化持续学习；在实践层面建立教研共同体，共同开展HPM课例研究。

【关键词】历史意识；数学史；历史发生原理；数学学科育人；学科史

杜威认为，历史阐明人类的关系，是扩大个人直接经验意义的一大学校资源［1］235。显然，在这里，历史并非指学校教育中的特定学科。因为历史作为一门学科，只是有关和我们的生活密切相连的社会群体的种种活动和疾苦的一批已知的事实［1］226-227。而将历史运用于教育，目的在于为狭隘的个人行动或单纯的专门技能提供资料，使这些行动或技能有了历史的背景、宽阔的视野和理智的观点［1］225。上述预期作用的产生，建立在过去、现在和未来的功能性联系基础之上［1］85-90。这意味着教育者需具备一定的历史意识。学科教育作为学校教育的主体，是落实立德树人根本任务的主要途径和方式。数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用［2］1。毫无疑问，数学教育承载了独特的育人功能。那么，数学课程与教学的“历史意识”有何内涵与价值？如何增强数学课程与教学的“历史意识”？本文结合数学史与数学教育（History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM） 的已有研究，对以上问题进行探讨。

一、数学课程与教学的“历史意识”之内涵

于述胜认为，将“历史意识”等同于“过去意识”或者“历史知识”，是一种常识化误读。实际上，“历史意识”就是人们的当下自我意识，过去、现在和未来以共时态的功能性联系呈现其中［3］。这强调了“历史意识”的连续性——不应人为割裂过去、现在和未来的联系。类似观点在杜威、波普尔的著作中也有体现。如杜威认为，关于过去的知识和过去的遗产，必须和现在发生关系，必须进入现在，才有巨大的意义［1］85；过去的事件不能和活生生的现在隔离而保存其意义。历史的真正起点总是某种现在的情境和它的问题［1］231。又如波普尔对“境况分析”的解释，即“境况分析”是指对人的某种行为所做的某种试探性或推测性的说明，这种说明诉诸活动者所处的境况。这可能是一种历史说明，也许我们愿意解释某种结构的观念是什么和为什么创立的。诚然，创造性行为不可能得到彻底的说明。然而，我们可以试着通过猜测对行为者所处的问题境况做理想化重建，并且在这个限度内使这个行为变成“可以理解的”（或“理性上可以明白的”），也就是说，适合于行为者所看到的境况［4］189；只有理解科学（即科学问题）的人才能理解科学史。……只有对科学史（科学问题境况的历史）有一定真正理解的人才能理解科学［4］195-196。

相应地，数学课程与教学的“历史意识”应是数学课程与教学共同体（包括施教者、学习者、课程设计者、教材编写者等）中各主体的当下自我意识，是对过去、现在与未来关系的整体把握。“现在”并非一个静态概念，而是动态地表征着当下数学学习者的境况。“过去”是相对于“现在”以前的数学史料。“未来”是相对于“现在”以后的数学课程与教学预设。数学课程与教学的“历史意识”，不仅是在数学课程与教学中渗透、融入、整合、运用数学史料的意识，更是超越狭隘的个体时空，以学习者数学学习境况为出发点，以相关数学史料为纽带，以学习者数学核心素养发展为指向，建立起过去、现在与未来的紧密联系，从而真正将史料形态之数学转化为教育形态之数学的意识。

二、数学课程与教学的“历史意识”之价值

海克尔提出“个体发育史重演种族发展史”的发生学定律，指出儿童的心理发展是种族进化的简短重复。一些数学教育研究者受此启发，将其应用于数学课程与教学，历史发生原理应运而生。19世纪末，数学史与数学教育的关系开始受到数学家与数学教育家的关注。数学史与数学教育关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM研究小组）也于1972年举办的第二届国际数学教育大会上成立。自此以降，“数学史与数学教育”逐渐成为数学教育研究重要领域之一［5］11。通过对HPM领域已有研究成果的梳理，数学课程与教学的“历史意识”之價值主要体现在以下几个方面。

（一）为学生的数学学习提供有利条件

以学习者为中心的教育强调以学习者的发展为根本旨归。数学学习者的当下自我意识，是数学课程与教学的“历史意识”之重要组成部分。其价值的根本体现，在于为学生的数学学习提供有利条件。许多著名的数学家、数学史家都认为数学史对促进学生的数学学习具有重要作用。如卡约里、史密斯、克莱因等认为，数学学习具有历史相似性，数学家在数学发展史上遭遇的困境，也将成为学生的数学学习障碍［5］11-12。因此，在数学课程与教学中恰当运用数学史料，能够促进学生对具体数学知识的理解，揭示数学内容的本质。与此同时，还能够让学生知悉数学漫长而曲折的发展历史，以数学史实激励或安慰学生，激发学生对数学学习的兴趣与信念［6］。如前文所述，数学课程与教学的“历史意识”的内涵，并非仅指在数学课程与教学中渗透、融入、整合、运用数学史料的意识。因此，“历史意识”对数学学习的价值远不止于此。

数学课程与教学的“历史意识”，能够为学习者提供数学知识产生、发展至今的历史背景与脉络，建立起过去如何产生、现在为何学习、未来如何使用的有机联系。学生在教师的引领下超越当前自身所处时空，现身于数学知识产生的时空，经历数学家发现、提出、分析和解决数学问题的探究过程，通过明晰过去、现在与未来的联系，提升对数学现实意义与应用价值的认识。这意味着数学课程与教学的“历史意识”，为学生问题意识、创新思维、实践能力以及数学观的良好发展提供有利条件。

（二）为教师的数学教学提供有效借鉴

19世纪末，数学史开始在西方成为数学教师教育课程之一。数学史家史密斯提出，数学史为数学教学改革提供了借鉴，因为困扰世界的数学问题也会困扰儿童，而世界解决数学问题的方式则为教师的数学教学提供了重要提示。我国著名数学史家钱宝琮认为，数学史研究应为数学教师服务，并倡导师范院校开设数学史课程。自20世纪20年代起，钱宝琮相继在南开大学、浙江大学、华东师范大学开设数学史课程［5］10。学生的数学学习具有历史相似性，因此历史意识能够帮助教师预测学生的数学认知障碍，确定数学教学的重难点，选择恰当的教学策略。相关实证研究表明，增强数学课程与教学的“历史意识”，有助于数学教师形成以下变化：对学生的认知规律有更深刻的理解；对教材的批判能力有所提升；对教材的拓展意识有所增强；数学观与教学观有所转变；逐渐形成自己的教学风格［7］。随着相关研究的持续深入，越来越多的证据表明数学课程与教学的“历史意识”为教师的数学教学提供了有效借鉴［8］。

（三）为数学教材的编排提供有益思路

课程是实现教育目的的重要载体，数学课程的设计应为历史意识的作用发挥提供空间。从教学内容载体的角度出发，数学课程主要包括数学课程标准、数学教材等。数学教材是课程标准中教育理念、教学内容以及教学要求等的物化载体［9］60。现行的《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“2017年版2020年修订课标”）与新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年课标”）均涉及数学史相关要求。而以往研究表明，数学教材的编排曾存在数学史分布不均衡、渗透不自然、类型不广泛等问题［10］。这在一定程度上抑制了历史意识在实际数学教学中的作用。数学课程与教学的“历史意识”之内涵，要求数学史料的运用以建立过去、现在与未来的联系为旨趣。因此，历史意识为数学教材的编排提供了有益思路，即要真切地将数学史料以“润物细无声”的方式自然融入数学教材，而非仅将其作为教科书中“阅读与思考”等栏目的内容，或单独作为选修内容出现。以此类“附件”形式呈现的数学史料不但不易发挥其独特作用，甚至还有可能会产生负面影响。正如杜威所言，一个具有教育或教学意义的活动，能使人认识到过去未曾感觉到的某些联系［1］87。如果数学史料未能作为纽带建立起过去、现在与未来的联系，这些文化遗产脱离与个人进行活动的当前环境的联系，它们就变成一个敌对的和使人分心的环境［1］90。

三、数学课程与教学的“历史意识”之增强路径

尽管HPM研究已开展五十余年，但在数学课程与教学实践中依然存在历史意识不强的现象。一些教师尚未充分认识到数学史料的重要作用，在考试评价的压力下选择忽视非显性知识形态的数学史内容。部分教师开始有意识地在实际教学中运用数学史料，但却停留在较低层次。有学者将国内外已有数学教学中运用数学史的方法进行了梳理、整合，归纳为附加式、复制式、顺应式和重构式四类［11］3。其中发生法追求知识的自然发生，将教学建立在学生已有认知基础之上，并强调让学生感悟到新知的必要性，重视对学生数学学习动机的激发。该定位符合数学课程与教学的“历史意识”之内涵。其他三种方法的层次则相对较低，甚至有的教师误认为，在课堂上运用数学史就是讲点数学家的故事［11］3。也有一些教师将数学教学中运用数学史料的目的定位于激发学生数学学习兴趣。事实上，这只是数学课程与教学中数学史料的派生功能，倘若无法基于学生的数学学习境况建立相关联系，学习兴趣根本无从谈起。因为所学习的东西和他目前的活动没有关系，没有生气，也不真实［1］225。针对以上数学课程与教学的实然样态，提出政策、理论、实践三条路径，以增强数学课程与教学的“历史意识”。

（一）政策路径：加强教师培训指导课程标准等的操作性指导

从宏观层面来看，现行的2017年版2020年修订课标、2022年课标中均涉及“數学的发展历程”［12］82“数学发展史”［2］95等数学史与数学文化相关要求，并均在附录部分提供了相关案例与分析。如2017年版2020年修订课标附录案例10“复数的引入”展现了数学史上虚数以及复数概念的引入过程，分析部分特别强调如何将数学史融入中小学的数学教学是数学教育领域的一个重要课题。通过数学概念和思想方法的历史发生发展过程，一方面可以使学生感受丰富多彩的数学文化，激发数学学习的兴趣；另一方面也有助于学生对数学概念和思想方法的理解［12］122-123。《中小学幼儿园教师培训课程指导标准（义务教育数学学科）》（以下简称《标准》）在培训目标中同样做出了要求，如“了解重要的数学事件（数学史、数学发展进程等）”［13］。但在加强数学知识的过去、现在与未来联系方面，尚有提升空间。《标准》可在“能力诊断”与“培训课程”等模块进一步增强其导向性，帮助教师进一步深化“如何有效运用数学史料”的正确认识。受一些因素制约，数学史在教科书中尚存在分布不均、编排方式单一等不足［9］60。考虑到这一现实情况，《标准》可在教科书中数学史内容的使用方面，基于典型案例解读等方式给予更具操作性的指导。

具体而言，可从内容、方法、资源三个维度为教师增强数学课程与教学的“历史意识”提供指导。例如，在小学数学课程重点内容“位值”原理部分，其抽象性容易使低龄儿童认知困难。针对此认知困难，可在充分利用学具的基础上，借助隐喻思维帮助学生突破难点［14］。此即为向学生介绍并使用算筹的合适时机：如果用三个容器从右至左分别表示个位、十位和百位，个位容器中盛放算筹，十位容器中盛放用10根算筹绑成的“小木棍”，百位容器中盛放用10根“小木棍”绑成的“大木棍”，能够帮助学生形成个位容器中容纳的是“一”，十位容器中容纳的是“十（十个一）”，百位容器中容纳的是“百（十个十）”的认识。学生在经历数位容器的放入、取出活动时，会积累有关“位值”的具体化活动经验，将“位值”的认知同化到已有的容器图式中。在此之后进一步抽象，向学生介绍算筹的纵式和横式摆法，让学生体会其优越性（节约算筹、操作简便），主要体现在以下几个方面。一方面，此处使用算筹作为学具较为恰当、自然，可在帮助学生感受“位值”的同时，向学生介绍算筹在数学史上的重要地位，引导学生体会中国古代十进位制算筹计数法的独特价值；另一方面，上述数学情境与活动的设计不但有助于解决当前面临的“位值”原理教学难点，而且为后续教学基于“计数单位”突出“数”与“运算”的一致性［15］奠定了基础，比较符合2022年课标的最新要求。在此案例中，内容维度即为“位值”原理；方法维度即为前述数学情境与活动的设计；资源维度则可进一步提供前述两篇对教学设计有重要启发价值的文献以及有关算筹的教学资料。

（二）理论路径：确保教师职前、入职、在职三阶段的一体化持续学习

从HPM与教师专业发展的已有研究来看，当前主要关注两个群体，或说教师职业成长进程的两个阶段：职前教育与在职培训［16］。事实上，在现代教师教育制度的引领下，有必要建立起针对数学教师专业发展的三个连续阶段，即职前、入职、在职三个阶段的“增强数学课程与教学的‘历史意识”的相关规划。历史意识的增强，既非职前教育所能“一次性”达成，亦非断断续续的在职培训所能实现，其需持续不断的潜移默化。职前阶段，要确保数学师范生、数学教育硕士的培养方案中有数学史相关课程的设置；确保能够胜任数学史相关课程的师资队伍；基于各院校自身特色，探索开设数学史相关课程的有效方式。入职阶段，将“增强数学课程与教学的‘历史意识”作为数学教师入职教育的内容之一。通过邀请相关专家讲学、优秀数学教师现身说法等方式，做好职前教育与在职教育的衔接。在职阶段，搭建以“增强数学课程与教学的‘历史意识”为目标的学习平台，通过参加高校培训、专题讲座等多种形式的继续教育，为职业生涯的持续发展保驾护航。

（三）实践路径：建立教研共同体，共同开展HPM课例研究

数学课程与教学的“历史意识”，是面向数学课程与教学实践的意识，具有默会性。其提升不能仅停留在理论学习层面，而是需在数学课程与教学实践中不断探索。作为数学课程与教学共同体中将数学课程转化为数学教学的实践主体，数学教师无疑是确保历史意识产生预期效果的最大倚仗。已有研究表明，打造由高校数学史与数学教育研究者、教研员、一线教师组成的教研共同体，有助于增强数学教师的历史意识。这需要中小学、教研室与当地高校尤其是师范院校之间建立紧密的联系。在进行HPM教学设计和教学实践时，先由高校数学史与数学教育研究者完成相关主题的历史研究，获得数学史料，然后由其与教研员、一线教师合作，将史料形态之数学转化为教育形态之数学，并付诸实践［11］4。在此基础上，基于利益相关者理论的指导［17］，秉持家校社协同共育的理念［18］，建立起包括教材编写者、职前教师、场馆教师、家长在内的更大共同体，携手在实践中感悟、总结经验，进而深化对理论的认识。在这样持续不断的良性互动中，数学课程与教学共同体的“历史意识”才能不断增强。

四、结语

研究受杜威、波普尔有关历史与教育关系的观点启发，基于学科史与学科教育交融的立場，结合HPM领域既有成果，对数学课程与教学的“历史意识”之内涵、价值及增强路径进行了初步探讨。尽管这一初步探讨是基于实然样态与应然追求的规范性论证［19］，但其所建立的整体性框架为未来开展实证研究奠定了一定基础。例如，基于“学生之学”“教师之教”“教材编排”三维向度的交互作用，检验“教师之教”“教材编排”之于“学生之学”的实际效果如何？教师职前、入职、在职一体化持续学习的理念与实践，是否需要有所改进？如果是，需要改进的要素又有哪些？等等，要回答以上问题，无疑需基于大量兼具理论导向与实践导向的设计研究：通过纵向追踪式的迭代循环设计与分析，在理论层面提出相关假设，并不断进行检验、解释或修正；在实践层面逐步获得相应的策略、方法和工具［20］。

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（责任编辑：陆顺演）