突出主干知识，强化核心素养

栾功 黎福庆

【摘 要】文章以2022年全国新高考I卷数学试题为例，分析试题命题特点与意图，提出以考促教，助力教学方式变革；以生为本，突破数学运算瓶颈；以减增质，重视关键能力提升的新高考备考建议。

【关键词】新高考I卷；数学试题；核心素养；主干知识

2022年教育部教育考试院命制了6套高考试卷，其中全国新高考I卷数学试题供广东、福建、湖北等7个省份使用，试题基于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称新课标）和《中国高考评价体系》，依据数学学业质量水平要求和“四层”“四翼”的考查要求，对引导教学和服务选才提出了新的要求。笔者以2022年全国新高考I卷数学试题为例，分析试题命题特点与意图，以期为教师教学提供参考。

一、试题特点

1.试卷结构趋于稳定，“四层”“四翼”有机融合

随着高考改革的不断深入，新高考数学试卷结构基本趋于稳定，以8道单选题、4道多选题和6道解答题构成，试题内容融必备知识、关键能力、核心素养的考查为一体，例如试卷第1，2，3，5，9，13，14，17，19题考查基本概念、基本方法，第11，18，20题深入考查解决相关问题的通性通法，第7，12题综合考查函数、方程、不等式问题，第4题以我国重大建设成就南水北调工程为情境考查学生直观想象、数学运算等核心素养。整体来看，试题对“四层”“四翼”进行有机融合，在强化基础性和综合性的同时体现对创新性和应用性的考查。

2.模块占比稳中有变，主干知识更加突出

通过对2020年山东卷，以及2021 — 2022年全国新高考I卷的模块占比比较分析（如图1），发现2022年新高考I卷中六大基本模块共计135分，占比达到90％。试题对主干知识的考查逐年增加，其中函数与导数所占比例从2020年的14％增加到2022年的21％，立体几何从15％增加到18％左右，解析几何稳定在18％。主干知识的考查更加突出，这与新课程改革和对学生关键能力的考查要求相吻合。因此，教师在教学中应引起重视。

3.服务高校人才选拔，核心素养凸显水平

学业质量标准是以本学科核心素养及其表现水平为主要维度，结合课程内容，对学生学业成就表现的总体刻画。依据喻平教授对数学核心素养3个水平的划分，笔者绘制了2022年新高考I卷考查的各个核心素养水平分布表（见表1）。从横向看，在高考试题的考查中更凸显数学运算、数学抽象、直观想象核心素养，即试题更注重考查学生的关键能力和思维品质，以更精准地服务高校选才。从纵向看，水平1和水平2共占85％，水平3占15％，符合数学学业质量水平与高考考试评价的要求。值得关注的是，数学学业质量水平3占15％，达到自主招生与各省市竞赛水平的要求。核心素养的凸显和对数学学业质量水平3考查比例的增大也是学生普遍反映试题偏难的原因之一，这也是新高考的变化，即重视学生关键能力和核心素养的考查。

二、试题评析

1.设置现实情境，发挥育人作用

高考评价体系最重要的创新之一，是通过“四层”考查内容将学科能力考查与思想道德渗透有机结合，利用学科素养这一关键连接层实现融合知识、能力、价值的综合测评，从而使立德树人真正在高考评价实践中落地生根。情境正是实现这种“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查的载体［1］。

例1 （2022年全国新高考I卷第4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（[7]≈2.65）（  ）

A. 1.0×109 m3     B. 1.2×109 m3

C. 1.4×109 m3          D. 1.6×109 m3

评析：试题以现实生活中的水库为载体，考查学生对立体几何基础知识的掌握情况，要求学生能在所给现实生活情境中抽象出棱台的相关概念。如两个海拔之间的高度即为棱台的高，两个海拔相应的水面面积其实是棱台的两个底面积。在抽象出棱台的相关概念后，学生便能顺利求出体积。试题以我国重要建设成就南水北调工程为载体，考查学生直观想象、数学运算等核心素养，引导學生关注社会主义建设成果，增强社会责任感。

2.加强教考衔接，发挥引导作用

《中国高考评价体系》明确指出高考必须坚持引导教学，以理顺教考关系，增强“以考促学”的主动意识，完善德智体劳美全面培养的育人体系。高考命题逐渐淡化技巧，回归数学本质，重视基本概念、定理、原理的考查，旨在引导教学回归教材，夯实必备知识。

例2 （2022年全国新高考I卷第3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记[CA]=m，[CD]=n，则[CB]=（  ）

A. 3m-2n      B. -2m+3n

C. 3m+2n      D. 2m+3n

评析：该题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算、平面向量的基本定理等基础知识和基本方法，解法灵活多样。试题源于新人教A版高中数学必修第二册第26页例1：“如图2，[OA]，[OB]不共线，且[AP]=t[AB]（t∈R），用[OA]，[OB]表示[OP]。”［2］，该例题的答案为[OP]=（1-t）[OA]+t[OB]。当t=3时，[OP]=-2[OA]+3[OB]，便是该试题的答案。当然，学生也无须死记硬背结论，只要掌握例题所揭示的问题本质，便可从多个视角轻松解答。试题源于教材例题，旨在理顺教考关系，引导教学回归本原，尤其能去除高三复习备考中“重教辅、轻教材”的功利化倾向。

3.提升逻辑推理，关注思维品质

新课标明确指出，在数学高考的考试命题中，要适度增加试题的思维含量，关注数学学习过程中思维品质的形成［3］。在新高考I卷中，这一要求体现得更加明显。

例3 （2022年全国新高考I卷第7题）设a=0.1e0.1，b=[19]，c=-ln0.9，则（  ）

A. a

评析：试题以指数、对数运算为背景，将运用导数研究函数单调性的考查融入比较函数值的大小问题中。该问题解决的关键是如何建立起a，b，c三个数之间的联系。我们观察到，a是与0.1有关的数值，那么，b和c能否改写成与0.1有关的形式呢？可以看出，b=[19]=[0.10.9]=[0.11-0.1]，c=-ln（1-0.1），于是，a，b，c三个数的值可以看作三个函数f（x）=xex，g（x）=[x1-x]，h（x）=-ln（1-x）在x=0.1处的函数值。因此，比较a，b，c的大小，只需考查函数f（x），g（x），h（x）在x∈（0，0.1］的图象变化。试题聚焦学生的逻辑推理能力、数学运算求解能力，对学生的思维品质提出了较高的要求。

例4 （2022年全国新高考Ⅰ卷第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且3≤l≤3[3]，则该正四棱锥体积的取值范围是（  ）

A.[18，814] B.[274，814] C.[274，643] D.［18，27］

评析：试题以学生熟悉的正四棱锥的外接球为背景，设计动态情境下求四棱锥体积的范围问题。试题的正确解决必须依靠逻辑推理构建体积V与侧棱长l之间的函数关系，并且选择合适的视角求解目标函数的最值。下面具体分析解答过程中两个关键的思维过程。

如图3，记点O为该正四棱锥外接球的球心，PO1=h，BO1=r，则OP=OB=R=3，则l2-h2=r2，R2-[h-R]2=r2，从而可得h=[16]l2，r2=l2-[136]l4，V=[13]Sh=[1182]l4（36-l2），目标函数V=[13]Sh=[1182]l4（36-l2）取值范围的求解思路源于教材，学生可以从多个角度进行求解，让不同层次的学生都有发挥能力的机会。

视角1：利用三元均值不等式，即V=[181]·[l22]·[l22]（36-l2）≤[181]×[13l22+l22+36-l2]=[643]，当[l22]=36-l2，即l=2[6]∈［[3，3]］时取等号，又V（3）=[274]，V（3[3]）=[814]，故选C。

视角2：利用导数研究函数的最值，令l2=t，t∈［9，27］，V（t）=[1182]（36t2-t3），V′=[1108]（24t-t2），当t∈［9，24］时，V′>0，当t∈［24，27］时，V′<0，从而V在［9，24］单调递增，在［24，27］单调递减，且又V（9）=[274]，V（27）=[814]，V（24）=[643]，故选C。

以上设计面向全体学生，有效检测了学生的立体几何基础知识，以及逻辑推理能力和运算求解能力，起到了压轴小题甄别学生思维层次的作用。

4.注重通性通法，凸显数学运算

新课标在高考命题建议中明确指出，考查内容应围绕数学内容主线，注重数学本质、通性通法、淡化技巧，凸显数学运算。数学运算作为解决数学问题的基本手段和数学学科核心素养之一，在2022年的新高考Ⅰ卷中明显增加，下面以解析几何模块的考查为例进行分析。

解析几何模块在以往的考试中都是以“两小一大”的题量呈现，其中两道小题主要考查圆锥曲线的定义、性质，学生只要熟练掌握便可解决问题。但2022年新高考Ⅰ卷中解析几何模块试题明显有了变化，两道小题均出现在选择题和填空题“压轴”的位置，都考查了直线与圆锥曲线的位置关系，要解决该题需联立直线方程与圆锥曲线方程，这使得运算量增大，问题的难度骤增。

例5 （2022年全国新高考Ⅰ卷第11题）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2=2py（p>0）上，过点B（0，-1）的直线交C于P，Q两点，则（  ）

A. C的准线为y=-1   B.直线AB与C相切

C.[OP]·[OQ]>[OA]2  D.[BP]·[BQ]>[BA]2

評析：试题以多项选择题的形式呈现，考查抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，注重通性通法。A选项考查抛物线方程、准线的基本概念；B选项考查直线的方程，以及直线与抛物线的相切的位置关系，其既可以联立通过判别式求解，也可以通过导数的几何意义求解；C、D两个选项以直线与抛物线的位置关系为背景，设计了与两点间距离有关的问题，考查学生用坐标法解决解析几何问题的一般程序，对学生的逻辑推理、数学运算核心素养有一定的要求。可以看出，前两个选项考查基础知识与基本方法，面向全体学生；后两个选项考查学生运用坐标法求解直线与抛物线相交弦长等问题的基本经验和关键能力，有利于高校人才的选拔。

例6 （2022年全国新高考I卷第16题）已知椭圆C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为[12]，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，[DE]=6，则△ADE的周长是        。

评析：试题以椭圆的定义为背景，设计了与焦点三角形有关的周长问题。问题的解决始于构图转化，把△ADE的周长问题转化为椭圆的定义，最后回归到求解a的值，即依靠弦长[DE]=6求解a。该解题过程并没有太多的解题技巧，而是从通性通法入手，考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养。

5.创新试题设计，考查关键能力

任子朝指出，全新的考试理念和考试目标需要全新的题型去实现和完成，设置开放性试题，通过设置不唯一的答案，鼓励学生灵活运用所学知识，启发多角度认识和分析问题，把学生从标准答案中解放出来，给学生充分思考与发挥的空间，使其能展示能力发展的水平［4］。

例7 （2022年全国新高考Ⅰ卷第14题）写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程________。

評析：试题贯彻高考改革内容，创新命题方式，设置不唯一的答案，甄别学生思维层次，考查学生分析问题、解决问题的能力。如图4，不难发现两圆外切，均与直线x=-1相切，当然，学生也可以根据直线与圆相切的性质求得另外两条切线的方程。

6.围绕知识主干，加强纵向联系

由前文分析可知，2022年全国新高考Ⅰ卷加大了对主干知识的考查。仔细研究，发现围绕主干知识命制综合性试题成了一大新的特点。例如第7题以指数对大小比较为知识情境，综合考查运用导数研究函数性质的能力；第8题围绕立体几何为背景，以动态情境命制了四棱锥体积的最值问题，将立体几何与函数、导数、不等式融合在一起，深入考查学生学科核心素养；第18题以三角函数为背景，将正余弦定理、三角恒等变换、基本不等式等知识融合，考查学生的必备知识和关键能力。相比历年试题，新高考围绕主干知识间的联系命制综合性问题已成为新的热点。

三、教学建议

1.以考促教，助力教学方式变革

在新旧高考过渡阶段，部分高中仍然存在以教师为主的“满堂灌”、大量机械重复的刷题应试和忽视学生高阶能力发展等问题。从近2年新高考试题的命制来看，旨在破解当前以“考分”为目标的刷题应试的困局，助力课程教学方式的改革，引导一线教师大胆实践，勇于创新教学方式，如基于“生本理念”的小组合作交流，以“问题为导向”的自主学习等能驱动学生内生力，激发学生自主学习的教学方式，从根本上解决教与学的问题。因此，高考备考不是高三才做的应试准备，而是长期基于教与学的积累。在教学中，教师要以考促教，改进教学方式，优化学生学习习惯，提升学生的核心素养。

2.以生为本，突破数学运算瓶颈

2022年新高考数学试卷的特点之一是明显加大了数学运算能力的考查，这也是学生普遍认为试题偏难的原因之一。数学运算是数学学习的基本功，如何提升学生的数学运算能力成了一线教师在高考备考中要突破的重点问题。西北师范大学张定强教授在解析数学运算素养中的理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果的表现形态，提出了相应的教学建议［5］。结合新高考对数学运算素养的考查要求和对张定强教授提出的教学建议的理解，在课堂教学中，我们要坚持以生为本，从教师讲、教师算、教师演练转变为学生做、学生讨论、学生解决，教师在学生的争论点和疑难点适当介入引导。在学习活动中，教师应充分展示学生解题的思维过程，暴露学生运算的关键卡点，让学生寻找运算失败的根源，探索突破运算的途径，在交流互动中逐渐剖析运算背后的数学本质。

3.以减增质，重视关键能力提升

在高考结束后，很多学生反映试题偏难，仔细分析，原因在于试题加大了对学生关键能力的考查。例如第7题，如果学生不能建立起a，b，c之间的联系，问题将很难解答；第8题通过正四棱锥和外接球中截面圆的性质建立V与l的函数关系是解决问题的关键所在。像这样的例子很多，比如第6、16、18、21题等，需要学生具备分析问题和解决问题的关键能力，才能驱动整个问题的解答。在新一轮高考备考中，学生切忌大量的刷题，建议围绕主干知识深入挖掘试题价值，通过一题多解、一题多变、多题一解等高阶思维活动，剖析问题的数学本质，提升解决问题的能力，减轻学生的学业负担。

参考文献：

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书 数学 必修 第二册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］任子朝，赵轩，陈昂.深化高考内容改革助推素质教育发展：新高考改革中的关键问题与解决措施［J］.中国高教研究，2019（1）：38-42.

［5］闫佳洁，张定强.高考试题中的“数学运算素养”解析：以近五年新课标全国理科卷Ⅱ为例［J］.中学数学杂志（高中版），2018（6）：49-53.

（责任编辑：陆顺演）